Weiß jemand wie man ein lineares Gleichungssystem mit 3 unterschiedlichen Variabeln rechnet?

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4 Antworten

Gib 

2x + 3y - 2z = 11
x - y + 2z = 3
3x - 2y + 3z = 8

hier ein:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm

und Du bekommst alles aufgelistet:

       2·x  +  3·y  -  2·z  =     11


x - y + 2·z = 3

3·x - 2·y + 3·z = 8

Durch Division der 1. Gleichung durch 2 wird der Faktor vor x eliminiert:

3 11
x + —·y - z = ——
2 2

x - y + 2·z = 3

3·x - 2·y + 3·z = 8

Mit der 1. Gleichung wird in allen anderen Gleichung der Summand mit x eliminiert.
Zur 2. Gleichung wird das -1fache der 1. Gleichung addiert:

3 11
x + —·y - z = ——
2 2

5 5
- —·y + 3·z = - —
2 2

3·x - 2·y + 3·z = 8

Zur 3. Gleichung wird das -3fache der 1. Gleichung addiert:

3 11
x + —·y - z = ——
2 2

5 5
- —·y + 3·z = - —
2 2

13 17
- ——·y + 6·z = - ——
2 2

Durch Multiplikation der 2. Gleichung mit -2/5 wird der Faktor vor y eliminiert:

3 11
x + —·y - z = ——
2 2

6
y - —·z = 1
5

13 17
- ——·y + 6·z = - ——
2 2

Mit der 2. Gleichung wird in allen anderen Gleichung der Summand mit y eliminiert.
Zur 1. Gleichung wird das -3/2fache der 2. Gleichung addiert:

4
x + —·z = 4
5

6
y - —·z = 1
5

13 17
- ——·y + 6·z = - ——
2 2

Zur 3. Gleichung wird das 13/2fache der 2. Gleichung addiert:

4
x + —·z = 4
5

6
y - —·z = 1
5

9
- —·z = - 2
5

Durch Multiplikation der 3. Gleichung mit -5/9 wird der Faktor vor z eliminiert:

4
x + —·z = 4
5

6
y - —·z = 1
5

10
z = ——
9

Mit der 3. Gleichung wird in allen anderen Gleichung der Summand mit z eliminiert.
Zur 1. Gleichung wird das -4/5fache der 3. Gleichung addiert:

28
x = ——
9

6
y - —·z = 1
5

10
z = ——
9

Zur 2. Gleichung wird das 6/5fache der 3. Gleichung addiert:

28
x = ——
9

7
y = —
3

10
z = ——
9
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am Schluss Erklärung mit 3 Variablen;

wichtig: zweimal die gleiche Variable eliminieren.

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Du hast 3 Gleichungen und 3 Variablen.

Gaußsches Verfahren wäre also möglich (mit eindeutiger Lösung), sofern keine davon linear abhängig ist.

Man kann auch durch Additionsverfahren und elementare Zeilenumformungen zB die letzte Gleichung nach z auflösen und dieses dann in die oberen Gleichungen einsetzen.

Wenn du irgendwo spezifisch hängen solltest, kannst du das gerne sagen, dann rechne ich dir diesen kleinen Teil auch gerne mal vor, allerdings möchte ich dich hier nicht deiner Übung berauben.

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Du löst z.B. Gleichung I nach einer der Variablen auf, die du dann in eine der anderen beiden einsetzt. Dann hast du nur noch zwei Gleichungen mit je zwei Variablen, die du dann noch auflösen musst. Das Ergebnis setzt du dann in Gleichung I ein

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