Frage von lovebio, 72

Weiß jemand die schritte wie man ein lineares Gleichungssystem mit mehreren unbekannten ausrechnet?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 13

Dieses lineare Gleichungssystem hat 3 Unbekannte und folglich 3 Gleichungen, damit es lösbar ist:

Im Vorgriff auf das Koeffizientenschema für die Lösung einer Steckbriefaufgabe nenne ich die Unbekannten a, b, c. Meist hat man x, y, z. Das ändert nichts am Additionsverfahren.
Bei einem so einfachen Gleichungssystem mit 3 Unbekanten würde ich sogar Gauß mit seinem starren Lösungsschema verwerfen. Der ist gut für Computer.
Trotzdem muss man Obacht geben. Gerade 3 Unbekannte sind immer zickig!

I )     a -  b +   c =    4    | *(-4)
II)  4a + 6b + 3c = -20    | *1       | *(-2)
III) 8a + 5b  - 5c = -85                | *1

Das Prinzip dabei ist, mit möglichst wenig Aufwand die Unbekannten zu reduzieren. Wenn ich mir die Gleichungen begucke, finde ich, dass a am besten herauszuwerfen ist. Wie man das macht, habe ich oben bereits hinter die Befehlsstriche geschrieben. *1 heißt dabei: keine Veränderung.

Ich brauche 2 Gleichungen, weil ohne a immer noch 2 Unbekannte da sind.
Als erstes schreibe ich I und II (verändert oder unverändert) ab. Dafür verwende ich die ersten zwei Befehle:

I)    -4a + 4b - 4c  = -16
II)    4a + 6b + 3c = -20

I + II)      10b - c   = -36 | *(-11) Zum Weiterrechnen!

Für II + III verwende ich die rechten Befehlsstriche:
(ich hätte natürlich auch I und III nehmen können, das macht man meistens)

II)       -8a - 12b - 6c   =  40
III)       8a + 5b  - 5c   = -85

II + III)        -7b - 11c  = -45 | *1 Zum Weiterrechnen!

Ich vermute, du weißt schon, wie es weitergeht. Ich nehme die addierten Gleichungen. Damit es hier schneller geht, habe ich die Änderungsfaktoren eben schon danebengeschieben, um c wegzuheben. Das ergibt:

I + II)    -110b        + 11c = 396
II + III)     -7b         - 11c  = -45

Addiert: -117b                 = 351    | (-117)
b = -3

Das setzt man weiter oben wieder ein und erhält erst c = 6
und dann a = -5.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 27

Ab 3 Unbekannte sind Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren nur noch bei relativ einfachen Koeffizienten machbar, darüber hinaus bietet sich (händisch) fast nur noch das Additionsverfahren an. Das ist aber bei 3 oder 4 oder 5 Unbekannten gelegentlich sehr verschieden zu handhaben.

Vor allem muss man aufpassen, dass man zwei bestimmte Gleichungen nicht erneut addiert, sonst ist plötzlich alles = 0.

Wenn du eine konkrete Gleichung mit 3 oder 4 Unbekannten hast, stell sie hier hinein (als Kommentar). Vermutlich wird sich im Laufe der Nacht jemand finden, der die Zeit hat, sie dir vorzurechnen.

Kommentar von henzy71 ,

EINE Gleichung mit 5 Unbekannten ist nicht lösbar. FÜNF Gleichungen mit 5 Unbekannten sehr wohl. Vom Rechenaufwand hat hier keiner gesprochen.

Kommentar von Volens ,

Natürlich stimmt dein Einwand. Aber du weißt doch ganz genau, dass ein LGS mit n Unbekannten gemeint war, nachdem ich die ganze Zeit den Plural verwendet hatte.  
War das eine Retourkutsche? Hast du das nötig?

Antwort
von Mamuschkaa, 14

Es gibt keine linearen Gleichungssystem ohne mehrere unbekannte,
somit musst du das nicht betonen ;)
Es gibt viele Möglichkeiten, entweder du nimmst immer die leichteste und schnellste,
oder du lernst nur eine Methode und wendest sie an egal ob sie gerade ideal ist oder nicht.
Wenn du dir unsicher bist gehe immer so vor:
nimm dir die 1. Variable (meistens a)
und multiplitziere alle Gleichungen mit 1/Vorfaktor von a,
zb
1) 2a-b+3c=5
2) a+b-c=-4
3) -3a+b=2
1) a-0.5b+1.5c=2.5
2) a+b-c=-4
3) a-0.33b=-0.67

danach 1)-2) rechnen und 1)-3) (alle Zeilen ein mal durch)
1)-2) -1.5b+2.5c=6.5
1)-3) -0.17b+1.5c=3.17

Und das jetzt mit der nächsten Variable wiederholen
a)  b-1.66c=-4.33
b)  b-8.82c=-18.65

a)-b) 7.16c=14.32
c=2
Und jetzt einsetzen in eine Gleichung deiner wahl wo sowohl ein c wie auch ein b vorkommt
a) b-1.66*2=-4.33
b=-1.01
und das nun wieder in eine Gleichung mit a einsetzen
2) a-1.01-2=-4
a=-0.99

Es bietet sich aber wirklich an anstatt ein Schema zu lernen, etwas mitzudenken,
Ich hätte es so gerechnet:

1) 2a-b+3c=5
2) a+b-c=-4
3) -3a+b=2
2)' 3a+3b-3c=-12

1)+2)'  5a+2b=-7    a)
3)        -3a+b=2   
3)'        6a-2b=-4     b)

a)+b)  11a=-11
a=-1
3+b=2
b=-1
-1-1-c=-4
c=2
Um einiges einfacher schneller und ohne Rundungsfehlern.
schau danach was am einfachsten aussieht.

Antwort
von AmateurGamer86, 41

grundsätzlich gibt es 3 Möglichkeiten:

- Additionsverfahren

- Einsetzungsverfahren

- Gleichsetzungsverfahren

Antwort
von henzy71, 40

x gleichungen mit x unbekannten ist generell lösbar.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 10

Ich habe mal im Internet gewühlt und diese Webseite ausgebuddelt -->


http://www.schule-studium.de/Mathe/Gleichungssysteme-in-Matrizenform-mit-4-Varia...

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 23

hier gucken?

Antwort
von Monte121, 26

Ich glaube, es ist das Eliminationsverfahren :) Kannst ja mal googeln 

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