Worauf sollte ich beim Kauf achten? Aus welchem Material sollte er z.B. sein und wie groß die Reifen?

Zusatztips von einem langjährigen "Rentnerbomber-Fahrer": Grosse Räder mit Gummireifen sind besser als kleine Räder. Mit grossen Gummirädern lässt sich auch ein zweirädriger Einkaufswagen gut "lenken".
Bei mehrrädrigen Gefährten solltest Du prüfen, ob die gesamte Radkonstruktion wirklich stabil ist und ob die tasche strapaziefähig ist. Ich habe bisher leider noch keine dieser Sorte gesehen, die mich überzeugt haben - Ausser den Riesenwägen, welche die Post-Briefträger benutzen ;-)
Zwei Tips zum Handling, die nicht jeder bedenkt: 1.) Musst Du, wie wir in Stuttgart, leichte Steigungen mit dem Einkaufswagen bewältigen - mit schieben geht's m.E. leichter. 2.) Lass Dich trotz bequemen Transport nicht zum Einkauf zu schwere Sachen (z.B. viele Getränkeflaschen) verleiten - auf der Strasse ist das ja kein Problem - aber wenn Du nicht gerade Parterre oder im ersten Stock wohnst, dann wird das rauftragen/-ziehen zum Kraftakt.

VERSCHIEDENES
gute Rollen: keine aus Plastik, sondern aus Gummi
Material: Nylon ist strapazierfähig, es gibt auch welche aus Planenmaterial (noch strapazierfähiger, aber eher schwer)
Taschen: Klappe sollte groß genug sein und gut schließen (am einfachsten mit Klett). Zusätzliche Taschen für Geldbörse und Schlüssel etc. finde ich praktisch
Stiegen? Wenn du damit über Stiegen musst sind so Trolleys praktisch, die auf jeder Seite 3 Räder haben, die floppen dann ganz einfach über Bordsteinkanten und Stiegen!
Praktikabilität: zusammenklappbar ist super bei kleinen Wohnungen, sonst verstellt er oft unnötig viel Platz.

Du solltest vor allem darauf achten, dass er erstens nicht zu schwer ist, also am besten aus bruchfesten Kunststoff. Dann geht er auch nicht so schnell kaputt. Wichtig ist außerdem, dass die Rollen gut verschraubt sind, sonst brechen die beim ersten Hindernis ab. Und ich empfehle 4 Rollen. Bei zweien lässt er sich oft schlecht "steuern".