Frage von almaaaa, 23

Was versteht man unter folgenden Sätzen in Bezug auf das Trägheitsellipsoid?

Hi :)

Könnt ihr mir zum Thema Trägheitsellipsoid helfe?

Was versteht man unter folgenden Sätzen in Bezug auf das Trägheitsellipsoid?

Bezüglich der zu beiden Achsen(Achsen mit minimalen bzw. maximalen Trägheitsmoment) senkrechten Achse nimmt das Trägheitsmoment einen Sattelwert an?

Die Hauptträgheitsachsen sind die Achsen, um die ein Körper rotiert, wenn die Drehachsen im Raum nicht fixiert sind.

Veranschaulichuing Trägheitsellipsoid:

Wie kann man sich das Veranschaulichen?

Betrachten wir alle möglichen Drehachsen des Körpers durch den Massenmittelpunkt. Wenn wir nun in einem rechtwinkligen Koordinatensystem in Richtung jeder Achse einen Wert unendlich 1/ Wurzel(I) (i= Trägheitsmoment) auftragen, dann erggeben allse so definierten Punkte eine gekrümmte Oberfläche, das sogenannte Trägheitsellipsoid. das Ellipsoid hat im Allgemeinen drei verschieden grosse Achsen; der grössten Ellipsoidachse entspricht das kleinste, der kleinsten Ellipsoidachse das grösste Trägheitsmoment.

Danke

Antwort
von WeicheBirne, 7

Ich gehe hier jetzt nur mal auf Deine erste Frage ein, weil die etwas mehr Erklärung braucht. Andere Fragen können wir eventuell in den Kommentaren besprechen.

Wir wollen also beweisen, daß folgendes gilt: Bezüglich der zu beiden Achsen(Achsen mit minimalen bzw. maximalen Trägheitsmoment) senkrechten Achse nimmt das Trägheitsmoment einen Sattelwert an.

Das Trägheitsmoment T um eine beliebige Rotationsachse e kannst Du berechnen als

I = e Θ e

e ist dabei ein Einheitsvektor, der parallel zur Rotationsachse verläuft.

Θ ist der Trägheitstensor des rotierenden Körpers

Die Formel kannst Du hier noch einmal nachsehen

https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsellipsoid

Wenn wir die Achsen unseres Koordinatensystems gerade so wählen, daß sie die Hauptträgheitsachsen des Körpers sind ist nur die Hauptdiagonale von Θ nicht Null. Das kannst Du hier noch einmal nachlesen

https://de.wikipedia.org/wiki/Haupttr%C3%A4gheitsachse

Das wählen wir jetzt mal so und das Trägheitsmoment in x-Richtung sei dann I_x, das in y-Richtung I_y und das in z-Richtung I_z. 

Jetzt wissen wir noch, daß eines dieser drei Trägheitsmomente am gößten und eines am kleinsten sein soll. Wir haben bisher nicht gesagt welche Achse in welche Richtung zeigt, daher können wir uns das aussuchen.

Ich wähle jetzt mal

I_x > I_z > I_y

Durch diese Wahl erwarten wir, daß I in z-Achsenrichtung einen Sattelwert besitzt.

Um herauszufinden ob das stimmt müssen wir zunächst feststellen ob die Funktion I an der Stelle e = (0, 0, 1) einen kritischen Punkt besitzt. Ein kritischer Punkt kan ein Maximum, ein Minimum oder ein Sattelpunkt sein.

Bevor wir anfangen das herauszufinden drücken wir e noch in Polarkoordinaten aus, dann wird das Rechnen einfacher. In Polarkoordinaten ausgedrückt ist e

e = (sinθ cosφ,  sinθ sinφ, cosθ )

Dabei kann φ alle Werte von 0 bis 2π annehmen und θ alle Werte von 0 bis π. Wie man den Einheitsvektor in Polarkoordinaten ausdrückt kannst Du noch einmal hier nachlesen

https://en.wikipedia.org/wiki/Unit_vector

Wenn wir unsere Wahl für Θ und e nun in die Formel für I einsetzen erhalten wir

I = I_x (sinθ cosφ)^2 + I_y (sinθ sinφ)^2 + I_z (cosθ)^2

Beachte, daß wir die Stelle e = (0, 0, 1) durch die Wahl θ = 0 erhalten. Dann ist I = I_z.

Jetzt müssen wir prüfen ob dieser bei e = (0, 0, 1) ein Sattelpunkt ist. Ein Sattelpunkt ist in einer bestimmten Richtung ein Maximum und in einer anderen ein Minimum.

Wir können unterschiedliche Richtungen wählen, die wir untersuchen wollen. Hier wähle ich zunächst mal eine Richtung in der x, z-Ebene. Durch diese Vorgabe gilt 

φ = 0 

und

I = I_x (sinθ)^2 +  I_z (cosθ)^2

d I / d θ = I_x sinθ cosθ - I_z sinθ cosθ

d I^2 / d θ^2 = I_x (cosθ^2 - sinθ^2) - I_z (cosθ^2 - sinθ^2)

Für θ = 0 gilt d I / d θ = 0 und wegen I_x > I_z 

d I^2 / d θ^2 = I_x - I_z > 0

Also ist in der x, z-Ebene bei e = (0, 0, 1) ein Minimum.

Als zweite Richtung wählen wir eine in der y, z-Ebene. Durch diese Vorgabe gilt 
φ = π/2

und
I = I_y (sinθ)^2 +  I_z (cosθ)^2

d I / d θ = I_y sinθ cosθ - I_z sinθ cosθ

d I^2 / d θ^2 = I_y (cosθ^2 - sinθ^2) - I_z (cosθ^2 - sinθ^2)

Für θ = 0 gilt d I / d θ = 0 und wegen I_y < I_z 

d I^2 / d θ^2 = I_y - I_z < 0

Also ist in der y, z-Ebene bei e = (0, 0, 1) ein Maximum.

Damit befindet sich bei e = (0, 0, 1) ein Sattelpunkt und wir haben den Satz bewiesen.

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