Frage von 1234xXx, 81

Was stimmt hier nicht o.O?

e^0 = e^i2Pi |ln( ) -> 0 = i2Pi
Das ist wohl so eine Art Physiker Witz :D Ich seh natürlich auch, dass das falsch ist. Aber warum darf man den natürlichen Logarithmus nicht auf e mit komplexer Potenz anwenden?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von ralphdieter, 23

warum darf man den natürlichen Logarithmus nicht auf e mit komplexer Potenz anwenden?

Weil y=e^x im Komplexen nicht injektiv ist. x=ln y liefert nur den Hauptzweig; der allgemeine Lösungsansatz wäre x=ln y + 2kπi (k ganzzahlig).

Gleiches Spiel wie hier:

sin 0 = sin π  | arcsin
0 = π (ups!)

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 45

Hallo,

das spielt an auf die sogenannte Eulersche Identität e^(i*Pi)=-1

Dann ist e^(i*2*Pi)=e^(i*Pi)²=(-1)²=1

Da e^0=1 und e^(i*Pi*2)=1, würde gelten, daß i*2Pi=0 ist.

Man kann aber nicht einfach Gleichungen aus unterschiedlichen Zahlenräumen (einmal R, einmal C) gleichsetzen.

Versuche einmal, e^i in den Taschenrechner einzugeben, falls er einen Modus für komplexe Zahlen hat. Du bekommst eine Fehlermeldung.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

In der zweiten Zeile habe ich eine Klammer vergessen:

e^(i*2*Pi)=[e^(i*Pi)]²=(-1)²=1


Kommentar von 1234xXx ,

Erstmal danke für die ausführliche Antwort.

Ich weiß was komplexe Zahlen sind und wie sie funktionieren. e^0 muss ja nicht unbedingt aus dem R kommen. Es kann doch auch eine komplexe Zahl sein mit Im(e^0) = Im(1 + 0i) = 0. Mir ging es mehr darum, warum der Logarithmus im R2 bzw. C auf diese Weise (offensichtlich) nicht definiert ist. Inzwischen bin ich aber selber schlauer geworden:

https://www.youtube.com/watch?v=3fCRZmWHS0E

Antwort
von iokii, 25

Weil der ln im Komplexen nicht definiert ist, eben aus deinem genannten Grund.

Antwort
von UlrichNagel, 43

2pi ist nicht Null und i ist ja keine Variable, die 0 werden könnte!

Kommentar von PerryMason ,

Du hast die Frage nicht verstanden.

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