Frage von rami1717, 56

Was sollte man feststellen wenn man die Seitenmittelpunkte einzeichnet?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 17

Es gibt Seitenhalbierende und Mittelsenkrechte, welch letztere einfach senkrecht auf den Mittelpunkten stehen, während die Seitenhalbierenden die Mitte der Seite mit dem Punkt gegenüber verbinden. Sowohl die Seitenhalbierenden als auch die Mittelsenkrechten treffen sich in einem Punkt, natürlich nicht demselben.

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist gleichzeitig der Mittelpunkt des Dreiecksumkreises.
Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, die sich im Verhältnis 2:1 schneiden, ist gleichzeitig der Schwerpunkt des Dreiecks.

Antwort
von claushilbig, 13

Kann man so pauschal gar nicht sagen, denn Du sagst nicht, von was man denn die Seitenmittelpunkte einzeichnen soll ...

Wenn's um Dreiecke geht:

  • Errichtet man Senkrechte auf den Seitenmittelpunkten, so schneiden sich diese sog. "Mittelsenkrechten" alle 3 in einem Punkt. Dieser Punkt ist dann der Mittelpunkt des "Umkreises".
  • Verbindet man die Seitenmittelpunkte mit der jeweils gegenüberliegenden Ecke, so schneiden sich diese sog. "Seitenhalbierenden" ebenfalls alle 3 in einem Punkt. Dieser Punkt ist dann der "Schwerpunkt" des Dreiecks. (Würde man das Dreieck ausschneiden und auf diesem Punkt lagern, wäre das Dreieck immer im Gleichgewicht.)
  • Verbindet man die drei Seitenmittelpunkte miteinander, so wird das Dreieck in 4 kleinere Dreiecke geteilt. Diese sind zueinander kongruent und zum ursprünglichen Dreieck ähnlich.

Wenn's um Rechtecke geht:

  • Verbindet man die vier Seitenmittelpunkte miteinander, so erhält man eine Raute, die genau die halbe Fläche des ursprünglichen Rechtecks hat. (Spezialfall: Ist das Rechteck sogar ein Quadrat, so ist auch die Raute ein Quadrat.)

Wenn's um allgemeine Vierecke geht:

  • Verbindet man die 4 Seitenmittelpunkte miteinander, so erhält man immer ein Parallelogramm.

Wenn's um regelmäßige Vielecke geht:

  • Verbindet man die Seitenmittelpunkte miteinander, so erhält man eine kleinere Version dieses Vielecks. (Spezialfall: Ist das Vieleck sogar ein Quadrat, so ist die "kleiner Version" gerade halb so groß, s. o. - je mehr Ecken das Vieleck hat, um so geringer ist der Unterschied zwischen den beiden Vielecken).

Bei unregelmäßigen Vielecken fällt mir so nix ein, was einem allgemein auffallen müsste - außer, dass es genau so viele Seitenmittelpunkte wie Ecken gibt, aber das dürfte ja eigentlich klar sein ...

Antwort
von lemongrassxD, 25

Wenn du auf den Seitenmittelpunkten Senkrechte zu den Seiten konstruierst (Seitenhalbierende), dann sollten die sich in einem Punkt treffen, glaub ich. Bei regelmäßigen n-Ecken sollte das zumindest der Fall sein. Bei unregelmäßigen Vielecken kann das auch anders sein.

Das fällt mir zumindest dazu ein.

Kommentar von lemongrassxD ,

oder du verbindest die Mittelpunkte und erhältst ein kleineres Vieleck :) Bzw. sie liegen alle auf einem Kreis mit Mittelpunkt auf dem oben erwähnten Schnittpunkt

Kommentar von Ellejolka ,

das sind aber mE Mittelsenkrechte und keine Seitenhalbierende.

Kommentar von lemongrassxD ,

ja stimmt :) hab heute nicht sehr viel geschlafen xD

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