Frage von mathemann112, 40

Was sind umkehrfunktion und bildmenge der Funktion f(x)=2^x im bezug auf alle reellen zahlen?

Was sind umkehrfunktion und bildmenge der Funktion f(x)=2^x im bezug auf alle reellen zahlen?

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 32

Die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist eine Logarithmusfunktion. Mit

y = f(x) = 2^{x} = e^{ln(2)·x},

deren Bildmenge die nichtnegativen Zahlen sind, ist deren Umkehrfunktion, mit den nichtnegativen Zahlen als Definitionsmenge,

x = f⁻¹(y) = log₂(y) = ln(y)/ln(2)

und deren Bildmenge sind alle Rellen Zahlen.

Kommentar von mathemann112 ,

Genauer gesagt lautet meine Aufgabe die Umkehrfunktion und Bildmenge bei a) allen Reellen Zahlen und b) allen positiven reellen Zahlen zu bestimmen (R+). Wenn ich es richtig verstanden habe bleibt die Umkehrfunktion die selbe: x = f⁻¹(y) = log₂(y)

Die Bildmenge besteht in a) aus allen nichtnegativen Zahlen > 0.

In b) sollte sie alle nichtnegativen zahlen > 1 beinhalten.

Richtig verstanden?






 


Kommentar von SlowPhil ,

Genauer gesagt lautet meine Aufgabe die Umkehrfunktion und Bildmenge…

  1. Die Umkehrfunktion und deren Bildmenge oder
  2. die Umkehrfunktion und die Bildmenge der ursprünglichen Funktion f(x)?

Das Folgende deutet mehr auf Möglichkeit 2.:

Die Bildmenge besteht in a) aus allen nichtnegativen Zahlen > 0.

Das sind sogar die echt positiven Zahlen.

Ich muss mich auch berichtigen: 2^x = 0 hat keine Lösung x, übrigens nicht einmal in ℂ.

Die Bildmenge von f ist also nicht die Menge aller nichtnegativen Zahlen, sondern die Menge der echt positiven Zahlen. Wenn man als Ausgangsmenge von f nur nichtnegative Zahlen zulässt, sind die reellen Zahlen ≥ 1 die Bildmenge, denn 2⁰=1.

Antwort
von benwolf, 27

Umkehrfunktion:

y=2^x

x=log2(y) hier jetzt x und y tauschen

y=log2(x) das ist die Umkehrfunktion

Bildbereich ist meine ich der Definitionsbereich der Umkehrfunktion.

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