Frage von Luca1307, 47

Was sind nartürliche zahlen, rationale und irrationale?, gibt es noch welche und welche Zahlen sind das alles?

Kenne nur die 3 Arten welche kennt ihr noch und welche sind das alle ?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 10

Die rationalen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen, also ist jede natürliche Zahl auch rational.

Natürliche Zahlen sind nicht-negativ (also 0 oder größer) - aus einer leeren Tüte kann man nichts herausnehmen. Man kann im Bereich der natürlichen Zahlen weder jede Subtraktion noch jede Division (außer durch 0 - das geht bei Zahlen nie) durchführen.

Eine erste Erweiterung der natürlichen Zahlen sind die ganzen Zahlen - hier kommen -1, -2, ... hinzu. Im Bereich der ganzen Zahlen ist jede Addition und jede Subtraktion durchführbar - sie bilden eine "additive Gruppe".

Eine weitere erste Erweiterung sind die positiv-rationalen Zahlen, also alle positiven Brüche. (Hier nimmt man die natürlichen Zahlen ohne die 0, um keine Probleme mit der Division zu kriegen.) Die positiv-rationalen Zahlen bilden eine "multiplikative Gruppe" - hier ist jede Multiplikation und jede Division durchführbar.

Die üblichen rationalen Zahlen sind die (gemeinsame) "Hülle" von ganzen und positiv-rationalen Zahlen.

Mit rationalen Zahlen allein kommt man ziemlich weit, insbesondere sind alle Subtraktionen und alle Divisionen außer durch 0 möglich, aber es sind z. B. nicht alle Wurzeln darstellbar, nicht einmal Wurzeln positiver Zahlen. (Die Wurzel einer natürlichen Zahl ist entweder natürlich oder irrational - eine kleine Erweiterung des üblichen Beweises der Irrationalität von √2.)

Um alle Quadratwurzeln positiver Zahlen bilden zu können, braucht man einen "pythagoreischen Zahlkörper" (nach dem Satz des Pythagoras benannt). Die pythagoreischen Zahlen bilden eine Erweiterung der rationalen Zahlen.

Aber dritte, fünfte, ... Wurzeln lassen sich hier immer noch nicht bilden. Ob es einen eigenen Zahlbereich gibt, wo sich gerade alle Wurzeln ziehen lassen, weiteres aber nicht möglich ist, weiß ich nicht. 

Man stellt fest, dass es noch Zahlen "zwischen" den Quadratwurzeln und den anderen Wurzeln geben muss. Man kann Quadratwurzeln und alle anderen Wurzeln durch Intervallschachtelungen oder "Abschnitte" (nur nach rechts begrenzte Teilmengen) von rationalen Zahlen darstellen, aber nicht jede Intervallschachtelung konvergiert gegen eine Wurzel. Durch die Intervallschachtelungen kommt man zu den "reellen Zahlen". Jede Intervallschachtelung reeller Zahlen konvergiert gegen eine reelle Zahl; die reellen Zahlen sind also gegenüber der Intervallschachtelung (oder auch der "Abschnittsbildung") abgeschlossen.

Ein anderer üblicher Schritt sind die "algebraischen Zahlen", das sind Nullstellen der "ganzrationalen Funktionen" / "Polynome" mit ganzzahligen Koeffizienten. Also z. B. die x, für die

f(x) = 2 * x^3 + 5 * x^2 - 3 * x -18  = 0

gilt. Zu diesen Funktionen gehören auch Funktionen wie

f(x) = x^2 + 1

die keine reelle Nullstelle besitzen. Aber weil wir die algebraischen Zahlen ja so definieren wollen, dass jedes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten eine algebraische Zahl als Nullstelle hat, müssen wir auch √(-1) irgendwoher kriegen. Mit einer geeigneten Definition der algebraischen Zahlen ist das kein Problem. (√(-1) nennt man "imaginäre Einheit" - üblicherweise mit i (Mathematik, Physik) oder j (Elektrotechnik) bezeichnet. Vermutlich "imaginär" - "(nur) in der Vorstellung" - genannt, weil man sich nichts darunter vorstellen kann.)

Die gemeinsame Hülle von reellen und algebraischen Zahlen bilden die komplexen Zahlen. Da sich die komplexen Zahlen (und schon die algebraischen Zahlen) nicht anordnen lassen, müssen wir uns etwas anderes anstelle der Intervallschachtelung einfallen lassen. Das sind die "Fundamentalfolgen" (siehe dort).

Weitere mögliche Erweiterungen dieser Bereiche sind hyperreelle und surreale Zahlen.

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Eine völlig andere Art der Erweiterung des Bereichs der natürlichen Zahlen geht man in der Mengenlehre. Da es keine Menge gibt, die weniger als kein Element enthält, brauchen wir hier keine negativen Zahlen. Aber es gibt Mengen, die unendlich viele Elemente enthalten, wir brauchen also Zahlen, die die Unendlichkeit darstellen können.

Endliche Mengen kann man nach der Anzahl ihrer Elemente in Klassen einteilen. Mengen mit gleicher Element-Anzahl nennt man Äquivalent, wir haben hier eine Äquivalenzrelation und die natürlichen Zahlen lassen sich als Äquivalenzklassen gleichmächtiger Mengen auffassen.

Aber wie kann man bei unendlichen Mengen nachschauen, ob sie gleich viele Elemente enthalten? - Man nennt zwei Mengen "gleichmächtig", wenn es eine eins-zu-eins-Beziehung zwischen ihren Elementen gibt. Bei endlichen Mengen ist das völlig äquivalent zur "üblichen" Anzahl, aber wir können hiermit auch unendliche Mengen erfassen.

Die Kardinalzahlen bilden den Bereich der Äquivalenzklassen "gleichmächtiger" Mengen.

Dann können wir die Elemente aber auch noch verschieden anordnen. Bei endlichen Mengen der Mächtigkeit n gibt es aber jedesmal eine Kette von n Elementen, die alle gleich aussehen (wenn man von der Natur der Elemente abstrahiert).

Bei unendlichen Mengen sieht das anders aus: wir können die Menge der natürlichen Zahlen nehmen - die bildet in der "natürlichen Anordnung" eine Kette mit einem Anfang und ohne Ende, und jedes Element ist in der Kette enthalten.

Wir können aber auch erst die geraden Zahlen und dann die ungeraden Zahlen nehmen - also [0, 2, 4, 6, ..., 1, 3, 5, 7, ...]. Hier haben wir 2 hintereinanderliegende, nicht direkt verbundene Ketten, also etwas völlig anderes.

Auch die ganzen Zahlen sind geordnet, aber wir haben hier keinen Anfang, und es stellt sich heraus, dass man mit Ketten ohne Anfänge keine vernünftige Theorie auf die Beine gestellt bekommt. Deshalb nimmt man für die Anordnungen nur "Wohlordnungen", wo jede Kette einen Anfang hat, oder genauer jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element enthält.

Zwei Anordnungen nennt man äquivalent, wenn sie sich nur durch die Art der Elemente, aber nicht in ihrer Anordnung unterscheiden. (Es gibt also eine 1:1-Abbildung zwischen den Mengen, die nichts an der Ordnung ändert.)

Die Klassen von gleichartig geordneten Menge-Anordnung-Paaren nennt man Ordinalzahlen.

(Das waren jetzt die, die mir einfielen. Es gibt noch viele weitere Bereiche von "Zahlen".)

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe, 12

Natürliche Zahlen sind die, mit der man in der Natur zählt: 1, 2, 3, 4,..
Rationale Zahlen sind Bruchzahlen x/y
Irrationale Zahlen sind Kommazahlen, die sich nicht als Bruch darstellen lassen. Beispiel √ 2 oder π
Dann gibt es noch die Ganzen Zahlen, die die Natürlichen Zahlen um die gleichen Zahlen, nur negativ und der Null erweitern.
Die Komplexen Zahlen sind im Prinzip Zahlenpaare, die das Ziehen von Wurzeln aus negativen Zahlen ermöglichen.
Dann wären da noch die Hyperreellen Zahlen und bestimmt noch andere, benamte Zahlenräume, die ich vergessen habe.

Man kann sich aber prinzipiell Zahlenräume beliebig selber definieren. Zum Beispiel kannst du definieren, dass IP die Primzahlen sind oder IG die geraden Zahlen, usw.

Antwort
von landregen, 15

Schau hier, da hast du eine Übersicht:

http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/zahlen/diehierarchiederzahlen...

Natürliche Zahlen sind die, mit denen du nätürliche Dinge zählen kannst: Ganze, positive Zahlen .

Ganze Zahlen beinhalten auch die 0 und die negativen Zahlen.

Rationale Zahlen schließen Brüche und Zahlen mit Stellen hinter dem Komma mit ein.

Bei den Reellen Zahlen kommen noch die Zahen mit periodischen Kommastellen hinzu, z. b. 10 geteilt durch 3 = 3,33333333usw, also 3,3 Periode.

Von Komplexen Zahlen redet man z. B. Beim Wurzeln Ziehen: Die Wurzel aus 4 ist zugleich 2 und -2.

Kommentar von einfachsoe ,

10/3 ist auch eine rationale Zahl. Die reellen Zahlen umfassen viel mehr alle vorgerigen Zahlentypen

Kommentar von landregen ,

Hast du jetzt irgend etwas anderes gesagt als ich behauptet habe? Nee ... was soll dieser Kommentar, was willst du damit sagen?

Kommentar von clemensw ,

10/3 oder 3,33Periode3 ist eine rationale Zahl.

Eine reelle Zahl wäre z.B. Wurzel(2).

Imaginäre Zahlen sind z.B. Wurzel aus negativen Zahlen, z.B. Wurzel(-1)=i

Komplexe Zahlen sind die Kombination reeller und imaginärer Zahlen, z.B. 2,5+3i

Antwort
von einfachsoe, 15

Ganze Zahlen: 1-unendlich, ohne Komma, manchmal inklusive 0

Natürliche Zahlen: von - unendlich bis +unendlich, ohne Komma

Rationale Zahlen: Alles was durch einen Bruch von natürlichen Zahlen dargestellt werden kann. Kommt von "Ratio" = "Verhältnis"

Irrationale Zahlen: Alles undendlich, nicht periodische. Z.B. pi

Komplexe Zahlen: a+ib, wobei a und b reelle Zahlen sind und i = sqrt(-1)

Kommentar von einfachsoe ,

ganze und natürliche vertauscht, ups...

Antwort
von HamiltonJR, 11

ganze Zahlen: Alle Zahlen, die ganzzahlig sind: ..-2,-1,0,1,2..


natürliche Zahlen: alle positiven ganzen Zahlen 1,2,3,4...

rationale Zahlen: Alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen

irrationale Zahlen: unendlichstellige Zahlen: z.B. Pi

reele Zahlen: Alle bis hier her genannten Zahlen

komplexe Zahlen: Zahlen mit Imaginärteil, der ein Produkt mit Wurzel (-1) bildet



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