Frage von kokosc, 27

was sind grenzwertsätze?

hallo, ich muss am mittwoch ein referat über grenzwertsätze halten allerdings verstehe ich das thema überhaupt nicht...was ich weiß : ich kenne die drei grenzwertsätze und weiß dass man eine folge als kovergent bezeichnet wenn sie einen grenzwert hat was ich allerdings nicht verstehe ist : wann verwendet man welchen grenzwertsatz und dann wie ? was sind wieder die bezeichnungen ''n'' und ''a''? und wie finde ich heraus ob eine folge überhaupt einen grenzwert hat ? Danke im vorraus

Antwort
von poseidon42, 15

Eine Folge besitzt einen Grenzwert wenn sie konvergiert. 

Zum Beispiel konvergiert die Folge:

a(n) = 1/n   gegen 0 und wird daher als Nullfolge bezeichnet mit dem Grenzwert 0. 

Also in anderer Schreibweise:  lim(a(n)) = 0 (für n ---> +inf)

Nun gibt es ein paar Elementare Aussagen über die Grenzwerte von Folgen:

Seien a(n) und b(n) nun konvergente Folgen, dann gilt:

i) lim(a(n)) + lim(b(n)) = lim(a(n) + b(n) )

ii) lim(a(n)) * lim(b(n)) = lim(a(n)*b(n))

iii) lim(a(n))/lim(b(n)) = lim(a(n)/b(n))  für b(n) keine Nullfolge

also im Endeffekt:   lim(b(n)^-1) = (lim(b(n))^-1  für b(n) keine Nullfolge

Wobei i) und ii) eigentlich somit das wichtigste sind. Also wenn du dann zum Beispiel eine Folge hast der Form:

a(n) = (3n² + 4n)/(5n² -2) 

Und du möchtest jetzt wissen, wie der Grenzwert von dieser Folge aussieht, dann kannst du einfach die Grenzwertsätze darauf anwenden, in diesem Fall zum Beispiel:

lim(a(n))[n--> +inf] = lim[ (n²/n²)*(3 + 4/n)/(5 - 2/n²) ](n--> +inf)

Und das ist ja nach Anwenden der Grenzwertsätze:

lim(3 + 4/n)*(lim( 5 - 2/n²))^-1  = [lim(3) + lim(4/n)] * [lim(5) - lim(2/n²)]

Nun wissen wir, dass 4/n und 2/n² Nullfolgen sind, daher vereinfacht sich die Grenzwertbestimmung zu:

lim(3)*(lim(5)^-1) = 3/5

Also folgt daraus:

lim(a(n))[n--> +inf] = 3/5

Übrigens sind Ausdrücke wie: 0*inf , inf*1/inf , 0/0, nicht definiert und lassen keinen Schluss auf den tatsächlichen Grenzwert zu.

Kommentar von kokosc ,

vielen vielen dank

und wie verwendet man die grenzwersätze bei der formel : (-1)^n/n

Kommentar von poseidon42 ,

Ist jetzt vielleicht ein wenig spät, aber hier hast du schon richtig erkannt, hier helfen einem die Grenzwertsätze so direkt nicht weiter.

Was man hier aber sehen kann ist folgendes:

Sei a(n) = ((-1)^n)/n  , so kann man diese Folge in zwei Teilfolgen zerlegen, eine divergente und eine konvergente Teilfoge, seien nun:

b(n) = (-1)^n     und    c(n) = 1/n

So gilt:  c(n)*b(n) = a(n)

Wir wissen nun aufgrund der Grenzwertsätze:

lim(a(n)) = lim(b(n))*lim(c(n))

Dabei folgt für lim(c(n)) sofort vollkommen offensichtlich:

lim(c(n)) = 0 

So, nun können wir aber erstmal nichts mit der Teilfolge b(n) anfangen, es handelt sich hierbei ja um eine divergente Folge. Was man sich jetzt überlegen kann ist, b(n) in zwei Teilfolgen zu zerlegen und zu zeigen, dass der Grenzwert in beiden Fällen der gleiche ist. Denn daraus würde die Konvergenz von a(n) gegen eben diesen gemeinsamen Grenzwert folgen.

b(n) = (-1)^n lässt sich ja nun in die beiden konvergenten Teilfolgen:

d(n) = 1   und   e(n) = -1   zerlegen.

Dann folgt durch das Sandwichlemma (in Verbindung mit den GWS):

lim(d(n)*c(n)) >= lim(a(n)) >= lim(e(n)*c(n))

da wir ja wissen:

d(n) >= b(n) >= e(n)  für alle n aus N .

Und da man mit den GWS direkt zeigen kann:

lim(d(n)c(n)) = lim(e(n)c(n)) = 0

[ lim(d(n)) = lim( 1) = 1 und lim(c(n)) = 0

----> lim(d(n))*lim(c(n)) = 1*0 = 0, der andere Fall funktioniert analog]

Woraus aufgrund des Sandwichlemmas dann folgt:

lim(a(n)) = 0

Schneller geht es, wenn man direkt den Satz anwendet, dass absolute Konvergenz die Konvergenz im üblichen Sinne impliziert. Also konvergiert der Betrag der Folge, so gilt ebenfalls das auch die Folge konvergiert und zwar mit dem gleichen Grenzwert wie der des Betrages der Folge.

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