Frage von sslcruncher, 40

Was sind Erwartungswerte (Mathematik)?

Hey, ich habe hier gerade mehrere Aufgaben vorliegen, wo steht "gib die Erwartungswerte an" (z.b. bei Würfel). Allerdings dachte ich, man braucht mehrere Würfe, um die Warscheinluchkeitswerte aufzuklären. Kann mir das jemand erklären?

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 4

Der Erwartungswert ist der Wert, der sich als Durchschnitt festigt, je öfter du das Zufallsexperiment wiederholst.

Er wird meist mit dem Buchstaben μ bzw. als E(x) bezeichnet.

Bei Glücksspielen ist der Erwartungswert immer negativ, du verlierst also im Schnitt dein Geld.

Das ist auch gut so, denn wenn der Erwartungswert positiv wäre, würdest du im Schnitt gewinnen, dann wäre es aber kein sinnvolles Glücksspiel mehr, sondern viel mehr ein Verlust für die Bank/den Gegenspieler.

Er berechnet sich aus der Summe der einzelnen x_i multipliziert mit deren Wahrscheinlichkeit.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 11

Der Erwartungswert ist der Wert, der bei unendlich vielen Wiederholungen eines Zufallsversuches am wahrscheinlichsten auftritt.

Um ihn bei nicht-binomialverteilten Experimenten zu ermitteln, ist es hilfreich, sich zuerst eine Tabelle aufzustellen:

xi           |  1    |  2   |  3  |   4  |  5    | 6    |

P(X=xi) |  1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |


Um nun den Erwartungswert zu berechnen, multiplizierst du jedes xi mit seiner Wahrscheinlichkeit und bildest die Summe:

E(x)=1*(1/6)+2*(1/6)+3*(1/6)+4*(1/6)+5*(1/6)+6*(1/6)

E(x)=3.5

Klingt komisch, ist aber so!

Kommentar von KDWalther ,

Und 3,5 ist nun "der Wert, der bei unendlich vielen Wiederholungen eines Zufallsversuches am wahrscheinlichsten auftritt"? Komischer Würfel :-)

langfristiger Durchschnitt trifft's eher

Kommentar von MeRoXas ,

Gut, er hätte die höchste Wahrscheinlichkeit, wenn es ihn geben würde. Einigen wir uns darauf? ^~^

Kommentar von KDWalther ,

Spontan wollte ich schreiben: okay, damit kann ich leben ;-)

Aber dann wurde mein mathematischer Geist (heraus)gefordert. Und siehe da: ich habe ein Gegenbeispiel.

Nehmen wir einen Laplace-Würfel (wie immer der auch aussehen mag) mit den Zahlen 8, 8, 9, 10, 10.
Dann ist der Erwartungswert für die geworfene Zahl 9; doch die kommt gerade an seltensten vor.

Aber ich geben Dir insofern recht: Zumindest bei einer Binomialverteilung stimmt Deine Aussage. :-))

Antwort
von CaptainFlagg, 20

Erwartungswert ist eigentlich einfach der Durchschnitt einer Versuchsreihe.

Bei einem Würfel (Laplace-) ist das durchschnittliche Ergebnis für jede Seite 1/6 bei einer großen Anzahl an Würfen (insofern ist deine Aussage dann natürlich richtig, bzgl. mehrerer Würfe).

Kommentar von sslcruncher ,

Danke !

Kannst du mir vielleicht noch mit dem Begriff "Wahrscheinlichkeitsverteilung" noch weiter helfen ?

Antwort
von Annavil, 15

Also ich bin absolut kein Mathegenie, aber meines wissens ist der Erwartungswert eben genau der Wert der am ehesten erwartet wird. Also sowas wie der Mittelwert.

Antwort
von hien1952, 10

Eigentlich ist das der Durchschnitt der zu erwarten ist :)

Kommentar von sslcruncher ,

Danke !

Kannst du mir vielleicht mit dem Begriff "Wahrscheinlichkeitsverteilung" noch weiter helfen ?

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