Frage von Bacaydee, 20

Was sind die extremstellen und sattelpunkte dieser funktion?

(1/4)x^4-(1÷3)x^3-x^2 ist die funktion. Wie bestimme ich die extremstellen von der funktion.morgen ist die arbeit und ich weiß nicht wie man das macht

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 7

Hallo,

die Extremstellen bestimmst Du, indem Du die erste Ableitung auf Null setzt. Die zweite Ableitung zeigt Dir dann, um welche Art von Extremstelle es sich jeweils handelt.

f(x)=(1/4)x⁴-(1/3)x³-x²

f'(x)=x³-x²-2x

f''(x)=3x²-2x-2

x³-x²-2x=0

x ausklammern:

x*(x²-x-2)=0

x=0 oder x²-x-2=0

x²-x-2=(x+1)(x-2)

x+1=0, also x=-1

oder

x-2=0, also x=2

Nullstellen: x=0, x=-1, x=2

Durch Einsetzen in die zweite Ableitung ergibt sich die Art der Extremstellen:

f''(0)=-2 Hier liegt ein Maximum vor, da die Ableitung an dieser Stelle kleiner als Null ist.

f''(-1)=3, also Minimum

f''(2)=6, auch Minimum

Wäre die zweite Ableitung an einer dieser Stellen gleich Null gewesen, hättest Du dort einen Sattelpunkt gehabt.

Um Wendestellen herauszufinden, setzt Du noch die zweite Ableitung auf Null:

3x²-2x-2=0

Hier kannst Du die Nullstellen etwa durch Einsetzen in die abc-Formel bestimmen:

x1/2=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)

a=3, b=-2, c=-2

Bevor Du mit dem Rechnen loslegst, siehst Du Dir erst einmal den Teil unter der Wurzel an.

Wenn der negativ wird, gibt es keine reellen Nullstellen und Du kannst Dir die restliche Rechnerei ersparen, also b²-4ac

Das ist 4+24=28, es gibt also zwei Nullstellen. Wäre das Ergebnis Null gewesen, hätte es nur eine Nullstelle gegeben.

Also:

x1=(2+√28)/6=1,215

x2=(2-√28)/6=-0,549

Hier liegen also Wendestellen.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Bacaydee ,

vielen vielen dank

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 7

Extremstellen ermittelst Du durch die 1. Ableitung. Du wirst als Ableitung eine Funktion 3. Grades erhalten, wobei jeder einzelne Summand ein x enthält, also dieses x ausklammern, und dann die Klammer Nullsetzen (quadratische Gleichung => pq-Formel), um die Nullstellen 2 und 3 zu ermitteln.

Wende-/Sattelpunkt mit der 2. Ableitung bestimmen. Du erhälst eine Funktion 2. Grades, also wieder mit pq-Formel lösbar.

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