Frage von meisterpfanne, 66

Was muss bei folgender Vektoren-Aufgabe berechnet werden?

Hallo,

was muss bei folgender Aufgabe überhaupt berechnet werden.

Die Summe von Vektor a mit einem Vielfachen des Vektors b soll senkrecht zum Vektor c stehen. Wie muss das Vielfache gewählt werden? Berechne zuerst eine allgemeine Lösung und wende dieses dann auf die gegebenen Vektoren an.

Vektor a (1/1/1); Vektor b (0/1/-1); Vektor c (-1/3/5)

Grüße

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 43

Hallo,

wenn Vektoren aufeinander senkrecht stehen, wird ihr Skalarprodukt gleich Null.

Du mußt also folgende Gleichung lösen:

[(1/1/1)+s*(0/1/-1)]*(-1/3/5)=0

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von meisterpfanne ,

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

also wenn das Skalarprodukt von Vektoren nicht null ist, dann stehen sie nicht senkrecht zueinander?

Muss ich nun einfach zu "s" umstellen?

Grüße

Kommentar von Willy1729 ,

Genau.

Der Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet sich nach der Formel:

cos(a)=(a*b)/(|a|*|b|)

also a*b=cos(a)*(|a|*|b|)

Da der Kosinus von 90° gleich Null ist, wird die rechte Seite der Gleichung auch Null und es gilt: a*b=0, wobei a und b hier Vektoren sind und a*b das Skalarprodukt darstellt.

Du kannst es Dir auch so klarmachen, daß Du Dir bewußtmachst, daß beim Skalarprodukt ein Vektor auf den anderen projiziert wird. Stehen die beiden senkrecht aufeinander, hat die Projektion den Betrag Null.

Du mußt also nur s berechnen.

Zur Kontrolle:

s=7/2

Willy

Kommentar von meisterpfanne ,

Vielen vielen Dank!

Ich teste gleich mal.

Liebe Grüße

Kommentar von Willy1729 ,

Bei cos(a) das a bitte nicht mit dem Vektor a verwechseln. Hier ist lediglich ein Winkel gemeint. Ich hätte besser einen anderen Buchstaben verwendet.

Kommentar von meisterpfanne ,

Wäre es möglich den Betrag der einzelnen Vektoren zu berechnen und dann erst zu "s" auflösen?

Kommentar von Willy1729 ,

Du mußt hier Skalarprodukte und Vektorsummen berechnen, keine Beträge.

Bilde zuerst den Summenvektor in der eckigen Klammer:

(1/1+s/1-s)

Dann muß das Produkt mit (-1/3/5) 0 ergeben:

1*(-1)+(1+s)*3+(1-s)*5=0

-1+3+3s+5-5s=0

7=2s

s=7/2

Willy

Kommentar von meisterpfanne ,

warum eigentlich [(vektor a) + s* (vektor b)] * vektor c. Und warum die Summe und nicht einfach den Betrag?

Kommentar von Willy1729 ,

Was willst Du denn mit dem Betrag?

Der Betrag ist die Länge eines Vektors. Die interessiert hier aber nicht. Wichtig ist der Winkel, nämlich daß der Summenvektor aus a und einem Vielfachen von b senkrecht auf c steht. Daß Du die Summe aus a und b bilden sollst, ist Teil der Aufgabe.

Kommentar von meisterpfanne ,

Also kann man das aus der gestellten Aufgabe so interpretieren:

Die Summe von a mit einem Vielfachen von b

-> (a + s * b)

steht senkrecht zu einem Vektor c stehen (senkrecht also Skalar)

Summenvektor aus a und b *  Vektor c  (Formel für Skalarprodukt).

Nur nochmal zur Formel-Bildung.

Das Ausrechnen ist nicht das Problem, sondern das Bilden der Formel war/ist es.

Kommentar von Willy1729 ,

Ja: (a+s*b)*c=0

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