Frage von Eskapismus, 73

Was mache ich bei dieser Quadratischen Gleichung falsch?

In meinem Buch ist eine Aufgabe die lautet: x² -x -6 = 0

Die soll ich mit der p-q Formel lösen.

Die Lösungen stehen hinten im Buch, diese soll hier {-3;2} sein.

Wenn ich jedoch in Beachtung aller Vorzeichen rechne, kommt bei mir etwas anderes raus. Ich habe es dann noch auf eine andere Art versucht, und dann war die Lösung "richtig". Aber meiner Meinung nach ist dieser Rechenweg falsch, weil man das Vorzeichen dort nicht beachtet.

Ich schreibe einmal meine Rechnung und dann die aus dem Buch auf, wäre schön, wenn mir jemand sagen kann, ob ich richtig liege und das im Buch evtl. ein Fehler ist.

Mein Rechenweg:

x² -x -6 = 0

x1,2 = -(-1/2) ± √-1/2² - (-6)

x1,2 = 0,5 ± √-0,25 + 6

x1 = 0,5 + 2,40 = 2,9

x2 = 0,5 - 2,40 = -1,9

Der Rechenweg im Buch:

x1,2 = -1/2 ± √1/2² -(-6)

wenn man das dann berechnet kommt wie gesagt x1 = -3, x2 = 2 raus.

Aber wurden doch die Vorzeichen falsch geschrieben, oder? Das Minus vor der 1/2 nach dem Wurzelzeichen fehlt zb. komplett, obwohl es in der Aufgabe ja -x heißt..

Vielen Dank für jede Antwort! :)

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 38

Hallo,

dafür brauchst Du eigentlich keine pq-Formel.

Bei x²-x-6 kannst Du zunächst sehen, ob zwei ganzzahlige Faktoren, die -6 ergeben, als Summe nicht -1, die Zahl vor dem x ergeben.

-6 ist entweder 1*(-6) oder 6*(-1) oder 2*(-3) oder 3*(-2).

Da 2-3=-1 ist, bist Du hier eigentlich schon fertig.

Du wandelst die Gleichung in (x+2)*(x-3) um, was Dir als Nullstellen entweder x=-2 oder x=3 beschert, denn ein Produkt wird Null, wenn einer seiner Faktoren Null wird.

Soll es die pq-Formel sein:

p=-1, q=-6

x1;2 =1/2±√(1/4+6)=1/2±√(25/4)=1/2+5/2 oder 1/2-5/2=3 oder -2.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 33

Am besten ist immer, du schreibst dir p und q explizit auf und beachtest, dass beide nachher in der Formel mit umgedrehtem Vorzeichen vorkommen. Wenn man kann, sollte man auch (-p/2)² direkt quadrieren. Es ist ja das immer positive Quadrat der Zahl vor der Wurzel.

p = - 1           q = -6

x₁,₂ = -1/2 ± √(1/4 + 6)       Klammern, soweit die Wurzel geht
x₁,₂ = - 0,5 ± √6,25
x₁,₂ = - 0,5 ± 2,5
x₁   =   2
x
₂   = - 3


Kommentar von Volens ,

Wieder mal erwischt. Mit Blick aufs Ziel nicht die Aufgabe korrekt beachtet. 

Die Gleichung für die von mir vorgeführte Aufgabe wäre:

x² + x - 6 = 0            mit  p = 1   und  q = -6



Es unterläuft einem doch immer wieder ...
(Es ist zu dumm, dass man nicht mehr wie zu Anfang alles auf einem Schirm hat. Aber eine Entschuldigung ist es auch nicht. Ich muss eben mehr aufpassen!)


Antwort
von ELLo1997, 49

Unter der Wurzel:
Das Minus gehört "mitquadriert". (Wodurch es wegfällt)

Lg

Antwort
von Nedam, 31

x²-x-6=0 entspricht der Form x²+px+q und hier ist klar das die PQ-Formel angewendet werden kann.

Diskriminante ist 2,5: sqrt((-1/2)^2-(-6) http://web2.0rechner.de/

Außerdem gilt:

∀ x ∈ nichtnegativen Zahlen: x² ∈ ℕ

 

Kommentar von Nedam ,


∀ x ∈ negativen Zahlen mit der 0: x² ∈ ℕ *


Kommentar von SlowPhil ,

∀ x ∈ nichtnegativen Zahlen: x² ∈ ℕ

Nein, es ist

∀ x ∈ ℝ: x² ∈ ℝ_{≥0} (nichtnegative Zahlen).

Natürlich ist dadurch auch

∀ x ∈ ℤ: x² ∈ ℕ₀.

Kommentar von Nedam ,

Danke für die Korrektur.

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 20

Das Schöne ist, dass man relativ einfach eine Probe machen kann. 

0 = 2,9² - 2,9 - 6
0 = 8,41 - 8,9
8,9 = 8,41 (falsch)

Zu deiner Frage mit dem Vorzeichen:

Der Rechenweg im Buch ist falsch oder von dir falsch aufgeschrieben.

x₁₂ = 1/2 ± √( (1/2)² - (-6))

Das Vorzeichen vor dem 1/2 unter der Wurzel spielt keine Rolle, da eh quadriert wird und so ein positives Vorzeichen entsteht.

x₁₂ = 1/2 ± √ 6,25
x₁₂ = 0,5 ± 2,5

IL = {-2; 3}

-2+3 = 1 = -p
-2 * 3 = q

Das Buch hat einen Vorzeichenfehler bei den Elementen der Lösungsmenge, weil p in die pq-Formel vor der Wurzel mit falschen Vorzeichen eingesetzt wurde.

Antwort
von LeroyJenkins87, 31

Der Fehler bei dir ist hier:

x1,2 = 0,5 ± √-0,25 + 6

Es müsste unter der Wurzel +0,25 sein

 

bei den Vorzeichen hast du aber recht. Es müsste -2 und 3 als Lösung sein

Antwort
von Geograph, 9


√(-1/2)² -(-6)) = √6,25 = 2,5




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