Frage von RafftNieWas, 25

Was ist x^2 < 1?

Was ist x^2 < 1? Da wird doch bei -1 das Vorzeichen umgedreht oder? Aber warum?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 5

Was meinst du mit "Vorzeichen umgekehrt"?

Beim Abziehen von 1 kommt das Minuszeichen links von der Subtraktion:

x² - 1 < 0

Faktorisieren:

(x-1)(x+1) < 0

Dann Fallunterscheidung: (x-1) <, =, > 0; (x+1) <, = , > 0 (wobei die Fälle nicht alle gleichzeitig auftreten können)

Multiplikation beider Seiten mit (-1) führt nicht weiter:

- (x²) > (-1)

Beim Wurzelziehen musst du eine Fallunterscheidung und hinterher eine Probe machen, weil das Vorzeichen einer Wurzel nicht festgelegt ist:

√(x²) < √(1)

+x < +1

+x < -1

-x < +1

-x < -1

Und für jede Kombination dieser 4 Fälle machst du die Probe, ob ein x, das die jeweiligen Ungleichungen erfüllt, auch die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen & Mathe, 5

Vielleicht sollten wir es mit "Vorzeichen umgedreht" nochmal klären.
Bei den Ungleichheitszeichen  <  >  ≤  ≥  werden die Vorzeichen der links und rechts stehenden Terme geändert, wenn das Rechenzeichen sich umkehrt, und zwar bei Übergang zu negativen Zahlen und bei Kehrwertbildung.

a    < b            a ≤ b
-a   > -b         -a ≥ -b
1/a > 1/b      1/a ≥ 1/b

Bei x² ist es aber eine ganz andere Sache, weil sowohl (+a)² als auch (-a)² zu +a² werden. Da muss man dann mit Fallunterscheidungen arbeiten, die manchmal sehr verzwickt werden.

Antwort
von vikodin, 22

lösungsmenge ist ]-1;1[

Kommentar von utnelson ,

1 und -1 ins quadrat sind aber 1 und somit nicht kleiner sondern gleich 1!?

Lösung ist eher: -1 < x < 1

Kommentar von vikodin ,

du hast recht... und deswegen sind die eckige klammern auch geöffnet um -1 und 1 auszuschließen... 

man könnte auch schreiben {x|-1<x<1}

Kommentar von Volens ,

Der Unterschied zwischen [-1;+1] und ]-1;+1[ ist nicht allen bekannt, zumal in einigen Lesarten für das Intervall ohne -1 und +1 auch die Darstellung (-1;-1) verwendet wird.

Antwort
von utnelson, 25

Vorzeichen wird bei (-1)² umgedreht weil - mal -, + ergibt.

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