Frage von Toghrul, 10

Was ist Scalarprodukt von Vektoren?

Kann jemand mir Scalarprodukt visualisieren?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 10

Hallo,

stell Dir vor, der eine Vektor ist der Boden. der andere ein Stab, der von einer Lichtquelle senkrecht über dem Boden angestrahlt wird. Das Skalarprodukt der beiden ist dann sozusagen der Schatten, den der zweite Vektor auf den ersten wirft. Stehen beide Vektoren senkrecht aufeinander, gibt es keinen Schatten - das Skalarprodukt ist gleich Null. Wird der Winkel zwischen beiden Vektoren kleiner als 90°, wird der Schatten länger.

Mathematisch ist das Skalarprodukt zweier Vektoren das Produkt aus den Längen (den Beträgen) der beiden Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen den beiden. Wenn Du also das Skalarprodukt zweier Vektoren durch das Produkt ihrer Beträge teilst, bekommst Du den Kosinus des Winkels zwischen ihnen als Ergebnis, was recht praktisch ist.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 8

So, jetzt steht hier im Dateinamenfeld "skizze_1,png", im Titelfeld "Skizze" und links daneben sehe ich eine Vorschau der Skizze. Einfaches Ziehen eines Dateisymbols auf das Feld reicht offensichtlich nicht.

Bezieht sich auf meine vorige Antwort, da man ja Kommentaren keine Bilder zufügen kann. 

Edit: Im Prinzip ja, aber rechts und links ist was abgeknabbert worden.

Die Linien treffen sich links vom Schnittrand in einem Punkt, und die untere Linie geht rechts weiter, wo sie in einem Pfeil ähnlich beim einzelnen Buchstaben b endet, aber mit a markiert.

Nun ja, jede Plattform hat ihre eigenen 20 Methoden, wie man denkt, so müsste es funktionieren, es aber dann doch nicht geht.

Antwort
von iokii, 10

Die Gleichung mit dem Cos(alpha) beschreibt das Skalarprodukt eigentlich ganz gut : Es gibt an, wie stark die beiden Vektoren in die gleiche Richtung zeigen, wenn es 0 ist, sind sie Senkrecht, wenn es eins ist, zeigen sie in die selbe richtung, und bei -1 zeigen sie in entgegengesetze Richtungen. Das ganze wird dann noch mit den Längen der beiden Vektoren multipliziert, damit man besser rechnen kann.

Antwort
von kdreis, 1

Das Skalarprodukt stammt wahrscheinlich aus der Physik: Arbeit W = Kraft F mal Weg s, wenn F und s in gleiche Richtung zeigen. Nun ist W ohne Richtung (ein Skalar), während F und s Vektoren sind. Zeichne die Vektoren s und F, die den Winkel Alpha bilden. F hat nun zwei Komponenten. Die senkrecht zu s trägt zur Arbeit nichts bei, die in Richtung von s ist F*cos(Alpha). W = Vektor F * Vektor s = Betrag von F * Betrag von s * cos(Alpha). Das Vektorprodukt aus Vektor F und Vektor s ergibt das Drehmoment, wobei s der Hebelarm ist.

Antwort
von gilgamesch4711, 7

  Aber claro doch. Wenn du es genau wissen willst, besorgst du dir ein AGULA Buch wie Kowalsky oder Greub; Anwendungen in der QM findest du im Fi ck. Am Einfachsten ist immer, wenn du z.B. sagst, das Skalarprodukt ( SP ) zwischen Kraft F und Weg s ist Kraftkomponente in Wegrichtung; du projizierst also immer:

   <  a  |  b  >  =  |  a  |  |  b  |  cos (  a  ;  b  )  (  1  )

  Stell dir vor du hast ein rechtwinkliges Koordinatensystem ( x ; y ; z ) die SP eines Vektors v mit den drei Koordinaten-einheitsvektoren geben dir immer die Komponenten von v in den drei richtungen. Im Augenblick ist das alles noch bissele ungewohnt; aber mit zunehmender Routine findest du dich schon drein.

   Im Folgenden wollen wir die ===> Einsteinsche Indexkonvention verabreden ( Die heißt aber nur so; alles was der gemacht hat, da sind schlaue Leute vor dem auch schon drauf gekommen. Effektiv wirst du finden, dass direkt nach Einstein beliebig wenig benannt ist - anders als z.B. bei Gauß, Euler und Lagrange. )

  eine für die Praxis Mega wichtige Formel, die dich jetzt wahrscheinlich bissele komisch anguckt:

  <  a  |  b  >  =  a  (  i  )  b  (  i  )    (  2  )

  Man muss sich halt überlegen, dass diese Summe eine Invariante ist; in allen Koordinatensystemen kommt da das Selbe raus. Noch Fragen?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 7

Das Skalarprodukt ist das Produkt der Länge des einen Vektors mit der Länge der Projektion des anderen Vektors auf die Richtung dieses Vektors.

Hört sich kompliziert an, eine Skizze verdeutlicht es (s. Bild)

a und b sind die Vektoren, b(a)  ((a) bedeutet a tiefgestellt) ist die Projektion von b auf a.

a · b = |a| * |b(a)|

Wenn man  dies in Koordinaten umrechnet:

a = (xa, ya),  b = (xb, yb)

dann ist 

a · b = xa * xb + ya * yb

Kommentar von PWolff ,

Sorry, ich krieg's nicht hin, ein Bild anzuhängen, ich probier weiter

Kommentar von Toghrul ,

Herzlichen Dank!

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