Frage von Tanechka25, 59

was ist Rotation, wie stellt man Matritzen dar, wenn für den R2 gibt es lineare Abbildungen Li: R2-> R2?

Hallo! Ich bin gerade mit Matritzenrechnung beschäftig, habe aber ein paar Schwierigkeiten beim Lösen einer Aufgabe...So,L1, L2 sind lineare Abbildungen, mit Li = R2->R2 ich muss Matritze L1, L2, und ihre Verknüpfungen darstellen. L1 ist die Rotation um 90 Grad gegen Uhrzeigersinn , L2 ist die Spiegelung an der x2 Achse... Kann mir jemand erklären, was ist Rotation und wie ich vorgehen muss? Könnte mir jemand helfen?

Antwort
von eddiefox, 31

Hallo,

Die Drehmatrix lautet

( cos(a) -sin(a) )
( sin(a) cos(a) )

wobei a ein Drehwinkel zwischen 0 und 2π ist.

In deiner Aufgabe ist a = π/2.
die Drehmatrix ist also

( 0 -1 )
( 1 0 )

Bei einer Spiegelung an der y-Achse geht der Punkt
P(x;y) über in P'(x;-y), was man mit der
Multiplikation folgender Matrix erreicht:

( 1 0 )
( 0 -1 )

Am besten wählst du dir einen Vektor V(x;y) , setzt für x, y Zahlen
ein, multiplizierst den Vektor mit den Matritzen und schaust
dir das Ergebnis in einer Skizze an. Dann siehst du wie es
funktioniert.

Gruß

Kommentar von Tanechka25 ,

Kann man L1 o L2 irgendwie geometrisch beschreiben...?

Kommentar von eddiefox ,

Hi,

du hast es ja jetzt mit gigrais ausdiskutieren können.

Ich sehe gerade, dass meine L2 oben falsch ist, die
von gigras ist richtig!

L2 = 

(-1 0 )
( 0 1 )

Meine L2 oben hat an der x-Achse gespiegelt.

Bei der Spiegelung an der y-Achse geht ein Punkt P(x;y)
in den Punkt P'(-x;y) über.

Meine Konzentration... sorry


Antwort
von gigrais, 39

Wenn man versteht was Matrizen mit Basisvektoren machen, ist es das Ganze einfach.

L1 soll nun um 90 Grad spiegeln.
Das heißt der este Basisvektor (1,0) wird auf (0,1) abgebildet.
Der zweite Basisvektor (0,1) auf (-1,0). Also

L1(1,0)=(0,1) 
L1(0,1)= (-1,0)

Nun ist unsere lineare Abbildung durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt:
L1 ist eine 2x2 Matrix mit den Zeilenvektoren:
(0,-1)
(1,0)

L2 bestimmst du ähnlich. Was macht diese mit den Basisvektoren?...

 

Kommentar von Tanechka25 ,

Die spiegelt sie oder ? also L2 mit dem Basisvektor (1,0) ist (-1, 0)

und der zweite (0,1) ist (1,0) , stimmt das?

Kommentar von Tanechka25 ,

nein, (0,1) bleibt (0,1)

Kommentar von gigrais ,

Nicht ganz.
Wenn x2 dein y-Achse ist und du möchtest an ihr Spiegeln. Wo landet der Punkt (1,0)? (Muss genau auf die andere Seite)
Und (0,1) liegt ja auf der Y-Achse. Was passiert mit Y-Achse wenn wir um diese spiegeln?

Edit: Ja du hast es!

Kommentar von Tanechka25 ,

Danke!))

Kommentar von Tanechka25 ,

Also L1 ist Matrix 

0  -1

1   0

und L2 ist Matrix 

-1  0

0    1

Was ist dann L1 o L2 ....?

Kommentar von gigrais ,

L1 o L2 ist definiert als L1(L2(x)). Das heißt du wendest auf den Vektor/Punkt L2 (das wäre die Spiegelung) und dann auf das Gespiegelte L1 ( Drehung um 90)

Jetzt denk nach was das Endresultat sein soll?
Spiegeln dann Drehen  =... Hier hilft es tatsächlich die Basisvektoren einsetzen und verfolgen.

ODER du führst Matrixmultiplikation durch (schaue nach wie das geht für 2x2 Matrizen) und hast sofort das Ergebnis:
L1 o L2 = L1 x L2 = ... 

Kommentar von Tanechka25 ,

Dann wäre es 

0 1

1 0

Stop, ich habe angenommen, dass L2 

1 0

0 -1 ist, weil eddiefox für L2 solche Lösung vorgeschlagen hat... Ich vermute, dass ich doch die Matrix L2 falsch geschrieben habe.. 

Ja wie gesagt, die Vektoren stimmen und ich habe verstanden, wie das geht, aber die Frage ist jetzt, ob meine Matritze L2 richtig war...

Kommentar von gigrais ,

Wie du schon gesagt hast: 
L2 = 
-1  0

0    1

Anhand der Skizze ist klar:
(1 0) angewandt L1 o L2 geht auf (0 -1)
(0 1) angewandt L1 o L2 geht auf (-1 0)

die Matrix L1 o L2 ist dann 
0 -1
-1 0 

Das wäre die Rotation um 3/4pi oder  270 Grad bzw - 90 Grad.
Eingesetzt in die Matrix von eddiefox ergibt diesselbe Matrix für L1 o L2.




Kommentar von Tanechka25 ,

Danke!! :)

Verstanden!))

Kommentar von eddiefox ,

Stimmt, ich sehe gerade, dass meine L2 falsch ist, meine L2 spiegelt an der x-Achse!

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