Frage von TheCorrado321, 38

was ist mit allgemeiner und spezieller Lösung gemeint?

Ein harmonischer Oszillator mit der Federkonstante D und angehängter Masse M beginnt zum Zeitpunkt t = 0 mit Auslenkung x0 aus anfänglicher Ruhe heraus zu schwingen.

a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für das System auf und geben Sie eine allgemeine Lösung und eine spezielle Lösung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen an.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von ELLo1997, 23

Als spezielle Lösung für eignet sich die sogenannte "triviale" Lösung, nämlich die, dass der Oszillator gar nicht schwingt (x(t) = 0).
Die allgemeine Lösung für den Oszillator ist eine harmonische Schwingung, also in diesem Fall ein Cosinus.
(Siehe Bild)
Lg

Kommentar von TheCorrado321 ,

Ahhh, okay danke! jetzt kapier ich das endlich :D

Kommentar von Ahzmandius ,

Das ist natürlich Quatsch. Eine Spezielle Lösung ist irgend eine Lösung einer Inhomogenen Differentialgleichung z.B. x'+x=t.

x(t)=0 ist nur dann die Spezielle Lösung, wenn die zugehörige Differentialgleichung eine homgene DGL ist, dann ist die Angabe einer Speziellen Lösungen allerdings ehe wurscht. 

Kommentar von Ahzmandius ,

Im Falle x'+x=t wäre z.B. x(t)=0 eben keine Spezielle Lösung.

Antwort
von Ahzmandius, 15

Allgemeine und Spezielle Lösung sind Begriffe aus dem Bereich der Differentialgleichungen.

Du hast z.B. so eine DGL:

x'+x=f(t)

Wenn f(t)=0 ist, nennt man die Gleichung Homogen.

Ist f(t) ungleich 0, so handelt es sich um eine Inhomogene DGL.

Eine HDGL wie z.B. x'+x=0 kannst du z.B. mit dem Ansatz x(t)=A*exp(-lambda*t) lösen.

Ein IHDGL wie z.B. x'+x=t kannst du im Allgemeinen nicht mehr so einfach mit einem Ansatz für x(t) lösen.

Der Trick dabei ist, die Inhomogene DGL in zwei schritten zu lösen.

1)Lösen der zugehörigen HDGL, heißt du nimmst nur den Teil x''+x=0 und löst es. Die Lösung dieser DGL bezeichnet man als allgemeine Lösung.

Hier wäre der Ansatz x(t)_hdgl=A*exp(-lambda*t) möglich.

2)Im Zweiten Schritt muss man noch eine spezielle Lösung für x(t) finden, so dass diese Lösung die DGL x'+x=t löst. Dabei kann diese Lösung völlig beliebig sein, muss halt nur die Gleichung erfüllen. 

Hier wäre eine mögliche Lösung: x(t)_spez=t-1.

3)Die Komplette Lösung des Problems wäre dann die Summe der Allgemeinen und der Speziellen Lösung.

Also, x(t)= A*exp(-lambda*t)+t-1

Hier gibt es noch eine gute Zusammenfassung, mit weiterführenden Erklärungen:

http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node182.html

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Physik, 10

Die allgemeine Lösung ist die Menge aller Lösungen der Bewegungsgleichung.

Eine spezielle Lösung ist ein Element der Lösungsmenge.

Die spezielle Lösung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen ist diejenige Lösung, die die Anfangsbedingungen erfüllt. Oder die Menge der Lösungen, die das tun - aber bei eindeutigen Systemen ist die Lösung für gegebene Anfangsbedingungen und nicht allzu pathologische Bewegungsgleichungen eindeutig.

Im Fall linearer Differentialgleichungen ist jede Lösung die Summe einer speziellen Lösung und einer Lösung der "homogenen Gleichung", das ist die Gleichung ohne Störfunktion. (Ich sehe gerade, dass es hier für t>0 keine gibt, also vergiss diesen Abschnitt)

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