Frage von KonnoYuuki, 37

Was ist jetzt "Streng monoton"?

Hallo, also mir ist eigentlich klar was streng monoton und monoton unterscheidet, jedoch steht in meinem Buch, dass für f''(x) =< bzw. => 0 die Steigung trotzdem Streng monoton steigend bzw fallend ist. (Lambacher Schweizer 10) . Jedoch gehe ich auf andere Webseiten und da steht nur f(x) < bzw > 0 für S.M.F und S.M.S. Außerdem hat unsere Lehrerin genau dasselbe wie im Buch gesagt, was mich verwirrt.. Welches ist denn jetzt richtig?

Antwort
von SirMahoney, 22

In dem Fall haben die Webseiten recht. Streng monoton bedeutet, dass jeder Wert größer (bzw. kleiner) sein muss als der Vorgänger. Das Andere wäre nur monoton.

Also für zwei aufeinanderfolgende Werte x_1; x_2 und x_1 < x_2 muss für die Funktionswerte gelten:
                    f(x_1) < f(x_2) -> streng monoton steigend
                    f(x_1) > f(x_2) -> streng monoton fallend

In der Schule sollten aber in der Regel nur streng monotone Funktionen behandelt werden.

VG

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 11

Lies noch mal nach, ob dort nicht vielleicht steht, dass für f''(x) =< bzw. => 0 die Steigung trotzdem Streng monoton steigend bzw fallend sein kann.

Das Problem mit der Implikation (logische Folge) ist, dass sie nicht umkehrbar ist.

Um die Antwort etwas zu vereinfachen, schaue ich mir jetzt nur Funktionen an, die selber monoton / streng monoton sind. (Um das auf deine Frage zu übertragen, nimmst du statt der Funktion die Ableitungsfunktion.)

Es gilt:

(  ∀ (x ∈ (a, b)): f'(x) > 0  ) => f ist auf [a, b] ∩ D(f) streng monoton steigend

und

f ist auf (a, b) streng monoton steigend => (  ∀ (x ∈ (a, b)): f'(x) ≥ 0  ) 

(Ein Beispiel, an dem deutlich wird, dass es Implikationen und keine Äquivalenzen sind:

f(x) = x³

hier ist f auf (-∞, +∞) streng monoton steigend, obwohl f'(0) = 0 ist.)

Antwort
von HansWurst45, 26

Wenn du darüber nachdenkst, dass "streng monoton" eine Verschärfung der Forderung gegenüber "monoton" sein soll, kannst du die Frage beantworten.

Bei "monoton" sind Stellen mit Steigung Null zulässig; bei "streng monoton" nicht.

Leider habe ich die Quelle für diese Definition nicht bei der Hand und Wikipedia hilft da auch nur begrenzt.


Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 12

Es ist ungewöhnlich, die 2. Ableitung zu Rate zu ziehen, wenn es um die Monotonie geht. Ist f''(x)=0, heißt das, dass an der Stelle x ein Wendepunkt ist, d. h. wiederum, dass es trotzdem weiter in die gleiche Richtung geht bzw. gehen kann. Man muß dann untersuchen, ob f'(x) evtl. auch gleich Null ist, dann wäre die Funktion wiederum nur monoton, denn dann hat man an dieser Stelle einen Sattelpunkt.

Es müsste also heißen, bei f''(x)>=0 bzw. <=0 kann die Funktion trotzdem streng monoton sein...

Kommentar von Wechselfreund ,

Ist f''(x)=0, heißt das, dass an der Stelle x ein Wendepunkt ist,

... sein kann

Man muß dann untersuchen, ob f'(x) evtl. auch gleich Null ist, dann wäre die Funktion wiederum nur monoton, denn dann hat man an dieser Stelle einen Sattelpunkt.

f(x) = x³   Sattelpunkt und streng monoton...

Kommentar von Rhenane ,

Bei Punkt 2 hast Du natürlich recht, was "streng monoton" angeht. Hatte nen kleinen Kopfklemmer, f'(x)=0 bedeutet ja nur, dass an dieser x-Stelle die Steigung 0 ist, trotzdem ist dieser Punkt größer/kleiner als der Punkt unmittelbar davor (es geht nicht (zwingend) waagerecht weiter) ...

Ist allerdings f''(x)=0, fällt mir gerade keine Funktion ein, wo an dieser Stelle kein Wendepunkt sein soll (Sattelpunkt ist ja nur ein besonderer Wendepunkt); man muss nur solange ableiten, bis die entsprechende Ableitung <>0 ist.

Das bedeutet letztendlich (aus meiner Sicht), dass die Aussage im Buch und damit auch die Aussage der Lehrerin richtig ist.

Kommentar von Wechselfreund ,

f(x) = x^4

Ich finde Nutzung von Vorzeichenwechselkriterien anschaulicher.

Kommentar von Rhenane ,

logo, sollte wohl auch besser Ferien machen...

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