Frage von Simonfragtjetzt, 24

was ist eine Basiswechelmatrix und wie erhalte ich sie?

Hi, es geht hier mehr um das technische habe mir schon Youtube angesehen nur komme ich da nicht weiter, würde es cool finden wenn ich mal ein Beispiel bekomme bis zu Gauß-Jordan also das mit dem Unformen... dieses B und B' verwirrt mich wie man das erhält und so.. danke schon mal für die Antworten!

am besten im Hinblick auch LA1, danke nochmal

Antwort
von QuestLeo, 17

Ich werde hier nur auf den Basiswechsel eingehen, da der Gauß-Jordan-Algorithmus damit nichts zu tun hat.

Betrachten wir exemplarisch den R² mit Standardbasis B = {(1,0) ; (0,1)} und einer weiteren Basis B' = {(1,1) ; (2,1)}. Es lässt sich leicht erkennen, dass B' tatsächlich eine Basis ist.

Nun fassen wir die Basen nicht als Mengen sondern als Matrizen auf, also:

  • B = ((1,0);(0,1)) zeilenweise gelesen
  • B' = ((1,2);(1,1)) zeilenweise gelesen

Nun suchen wir die Basiswechselmatrix T mit TB = B' (ggf. habt ihr eine andere Position für T in der Gleichung gewählt, aber das ändert am Prinzip nichts).

Nun ist: (1,1) = 1*(1,0) + 1*(0,1) und (2,1) = 2*(1,0) + 1*(0,1).
Damit ist T = ((1,2);(1,1)) [zeilenweise gelesen] die gesuchte Basiswechselmatrix.

Kommentar von Simonfragtjetzt ,

Danke! nur wie komme ich auf den anderen Vektor den b'? da harkt es bei mir grade...

Kommentar von QuestLeo ,

Naja es handelt sich hier um zwei Sachverhalte:

  1. Gegeben sind zwei Basen B, B' und zu bestimmen ist die Basiswechselmatrix T. Das ist der von mir erläuterte Fall. B' ist hierbei schon vorgegeben.
  2. Gegeben sind eine Basis B und eine Basiswechselmatrix T. Zu bestimmen ist die neue Basis B'. Dann ist B' = BT (wobei hier zu beachten ist, welche Basiswechselmatrix T ist, also von B nach B' oder von B' nach B. Dadurch könnte sich die Gleichung zu B'T = B ändern)
Kommentar von Simonfragtjetzt ,

danke, genau das ist mein Problem... ich habe nur eine Matrix und die Info das der Vektorraum ein Körper ist, auf den das geht... und da hab ich meine Probleme, habe auch ein Erzeugnis... und da liegt der Ochse im Felde begraben....

Kommentar von QuestLeo ,

Kannst du das vielleicht mal konkreter beschreiben? Du hast ja auch ein Erzeugnis gegeben, welches? Denn wenn das Erzeugnis der Vektorraum ist, dann sind die erzeugenden Elemente (sofern linear unabhängig) Vektoren einer weiteren Basis.

Kommentar von Simonfragtjetzt ,

okay habe nun die Aufgabe rausgesucht, weiß nur nicht wie ich sie hier ins Kommentar bekomme....

Antwort
von abibabo, 18

Hi,

ich verstehe nicht was du meinst, also rate ich mal.

B' ist oft die inverse Matriux eine Matrix B. Es gilt dann BB' = E.

Hilft das?

abibabo.de

Kommentar von Simonfragtjetzt ,

also ein wenig, also muss ich von der Matrix erst die Basis von der Inversen ausrechnen um dann auf die Basiswechselmatrix zu kommen?

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