Frage von scump, 19

Was ist ein Steckfaktor eines Vektors und wie bestimmt man ein Drehwinkel von einem Vektor?

Hey Leute,
Ich hab eine Frage zu Aufgabe P3(b)
Undzwar weiss ich nicht wie Man ein Drehwinkel bestimmt. Ist es villt der Winkel zwischen zwei Vektoren ?
Und was ist ein Steckfaktor eines Vektors?

Wäre sehr Dankbar wenn einer mit da weiter helfen könnte !! :)

Mit freundlichen Grüßen

Antwort
von michi123456788, 9

Also, du bist scheinbar grade bei linearen Abbildungen. 

Eine spezielle lineare Abbildung im R^n ist zum Beispiel die Streckung. Eine Streckung f(x)= lambda*x = A*x (x sind hier Vektoren, kann man nur hier nicht eingeben;) ist gegeben durch eine Abbildungsmatrix A = lampda* E (E ist die Einheitsmatrix). lambda ist dann der Streckfaktor. Anschaulich passiert dabei, dass der Vektor die gleiche Richtung und Angriffspunkt behält, nun aber, je nach lamda, eine andere Länge hat. 

Eine Drehung ist eine weitere Art von linearer Abbildung. Eine lineare Abbildung f(x) = R*x heißt Drehung wenn 1. R orthogonal und 2. det R=1 gilt. Den Winkel bestimmt man folgendermaßen: Im R^2 drehst du dich ja in der Ebene, da kannst du aus der Drehmatrix direkt den cos bzw. sin ablesen. Der Drehwinkel wäre dann zum Beispiel arccos(a1,1), wobei (a1,1) das linke obere Element in der Matrix ist. Im R^3 wäre dein Drehwinkel my durch die Formel 2+cos(my)+1=spur R.

Bei der Aufgabe handelt es sich um eine Verkettung zweier linearer Abbildungen. Diese ist allgemein gegeben durch die Matrizenmultiplikation der Abbildungsmatrizen. Sei die Drehmatrix nun R und die Streckmatrix A. Da A ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist, kannst du die Verkettung A°R=A*R auch als lampda*R schreiben. Da die Drehung die Determinante 1 haben muss kannst du jetzt den Streckfaktor lampda bestimmen. Deine Determinante ist 4, also musst du die Matrix D aus der Aufgabe mal ein Viertel rechnen, damit sie eine Drehmatrix wäre. Aus dieser Matrix R kannst du nun den Winkel bestimmen, und dein Lambda ist 4 (4*R=D), deine Streckmatrix A hat somit die Diagonalelemente a1,1 =a2,2= 4.

So ich hoffe das hilft dir ein bisschen :)

Kommentar von scump ,

Joaa danke das war Hilfreich:)

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