Frage von FckBio, 37

Was ist ein Polynom 3.Grades?

Ist ein Polynom 3. Grades einfach F (x)= ax^3+bx^2+cx+d?

Und was genau wird in einer Steckbriefaufgabe mit "bestimme das Polynom" gemeint?

Antwort
von gilgamesch4711, 10

  Hier wird nur mit linken schäbigen Tricks gearbeitet. Fangen wir mit deiner zweiten an. Hier du kriegst doch schon alles vorgekaut; leichter KANNST du es nicht mehr haben. Du hast die Nullstellenform

   x1 = Q = 1 , x2;3 = R = 5       ( 1a )

   " Berührt " heißt immer: Waagrechte Tangente; Nullstelle von mindestens zweiter Ordnung ( 3. Ordnung geht ja wohl nicht mehr; warum? )

   Weißt du, wie man Nullstellen faktorisiert? In Normalform muss die Lösung heißen

   F ( x ) = ( x - 1 )  ( x - 5 )  ²     (  1b  )

   Dein Lehrer wünscht aber, dass du das ausmultiplizierst. Kennst du Geheimschrift, ===> Falltürfunktionen? Sich aus dem Polynom die Nullstellen zu schnitzen, ist nach wie vor eine der schwierigsten Aufgaben. aber das Umgekehrte, was wir wollen, ist easy; Stichwort Satz von Vieta ( Du musst dich nicht der Mühe unterziehen, die Klammern von Hand aufzulösen. )

     a2 = - ( x1 + x2 + x3 ) = ( - 11 )     ( 2a )

     a0 = -  x1  x2  x3  = ( - 25 )        ( 2b )

    a1 = x1 ( x2 + x3 ) + x2 x3 = 35       ( 2c )

   F ( x ) = x ³ - 11 x ² + 35 x - 25   ( 3a )

   Ein Polynom 3. Grades benötigt aber immer 4 Bedingungen; bisher haben wir erst die drei Nullstellen. Und - beachte dies - schon drei Bedingungen abgearbeitet OHNE EINE EINZIGE UNBEKANNTE. Darauf kommt es an; genau wie in der Geometrie musst du etwas " sehen " Genau wie beim fußball brauchst du Strategie.

   wer in Schulaufgaben mehr wie zwei Unbekannte verbrät, hat etwas verkehrt gemacht. De Frankfotter sescht

   " Mer kann sisch aach en Loch ins Knie bohrn unn drin Kaffee koche. "

   " Mer kann sisch aach uff de Kopp stelle unn mit die Baa ( Beinen ) Micke fange. "

   Was uns in ( 3a ) noch fehlt, ist der ===> Leitkoeffizient k ; wir suchen ja nicht F ( x ) , sondern f ( x )

    f  (  x  )  :=  k  F  (  x  )    (  3b  )

   Genau genommen ist k ja nur eine " halbe " unbekannte; denn f und F sind ja öquivalent.

  Ich hab mal gehört, hier ist eigenleistung gern gesehen; überleg dir mal, welche Bedingung auf k führt. " Eigenleistung " sag ich immer, wenn ich mich chronisch unterfordert fühle; Aufg. 1) mach ich aber auch noch - Ehrenwort; versprochen.

Kommentar von FckBio ,

Wow, schon mal danke für die Antwort.  Ich les mir das sobald ich Zuhause bin in ruhe durch. 

Antwort
von gilgamesch4711, 3

 Dies Teil 2 meiner Antwort mit deiner ersten Aufgabe. Leider gibt es hier im Gegensatz zu dem Forum " Lycos " nicht die Funktion der Ergänzung; es verwirrt nämlich sehr, dass du beliebig oft antworten darfst. Wenn du Lust hast; logg dich bei Lycos ein. Ich bin übrigens " Harrypotter7452 " ; du kannst mir ja immer eine PN ( " persönliche Nachricht " ) schicken, wenn ich für dich Hausaufgaben machen soll.

   Was ich als sehr störend empfinde: Dieser Editor streikt, wenn er längere Texte verschicken soll; in Lycos gibt es dieses Problem nicht. Darum auch antworte ich zweiteilig.

   Die erste Aufgabe ist eindeutig die schwerere.  Wieder musst du etwas wissen; mach dich in Wiki mal schlau über die ===> Taylorentwicklung.

   Du Onkel Taylor ist gar nichts Böses; du hast mich vorhin gefragt, was ein Polynom ist. Ein Polynom kannst du nicht nur um x0 = 0 entwickeln; du kannst den Nullpunkt x0 längs der Abszisse verschieben. Aber wie rechnen sich dann die ganzen Koeffizienten um? Die Antwort darauf gibt Onkel Taylor:

        x  :=  x0  +  h     (  1a  )

    In unserem Falle ist x0 = 1 ; wirst gleich sehen warum. Dann lautet Taylor

    f ( h ) = A0 + h A1 + h ² A2 + h ³ A3     (  1b  )

     A0  =  f  (  x0  )  =  0  ;  A1 = f  '  (  x0  ) = ( - 12 ) ; A2 = 1/2 f  "  (  x0  ) = 0   ( 2a )

    f (  h  )  =  - 12  h  +  a3  h  ³     (  2b  )

   Meine Taktik hat doch schon wieder mal ins Schwarze getroffen; nur eine Unbekannte. Wir haben voll link ausgenutzt, dass alle Größen gegeben sind für x0 = 1 .

   a3 findest du mit der Forderung, dass in x = 0 , sprich h = ( - 1 ) , die Funktion 11 sein soll.

    12   -  a3  =  11   ===>   a3  =  1       (  3a  )

      f  (  h  )  =  -  12  h  +  h  ³       (  3b  )

    Jetzt müssen wir umrechnen auf x1 = 0 ; Lösung wird demnach die Reihe sein

   f ( h ) = f ( 0 ) + h f ' ( 0 ) + 1/2 h ² f " ( 0 ) + a3 h ³     ( 4a )

            = 11 + h f ' ( 0 ) + 1/2 h ² f " ( 0 ) + h ³     (  4b  )

    Denn zwei Koeffizienten haben wir bereits: f ( 0 ) war uns gegeben; und a3 hatten wir berechnet. Um f ' ( 0 ) zu erhalten, müssen wir offenbar ( 3b ) ableiten nach h und h = ( - 1 ) setzen:

   f ' ( h ) = 3 h ² - 12 ;  f ' ( h = - 1 ) =  (  -  9  )     (  5a  )

    a2 =  1/2  f  "  (  h = - 1  )  ;   1/2 f "  =  3 h    (  5b  )

     a2  =  (  -  3  )     (  5c  )

      f  (  h  )  =  11  -  9  h  -  3  h  ²   +  h  ³    (  5d  )

   Per-fek-ta-men-to.

Kommentar von FckBio ,

Danke, ich habs verstanden!! :) danke danke danke 

Antwort
von C0r3bl00d, 20

weil die höchste potenz x hoch 3 ist. deswegen polynom 3. grades.

Kommentar von FckBio ,

Und was ist gemeint wenn die Frage lautet " bestimme das Polynom"?

Kommentar von C0r3bl00d ,

dann musst du auf die größte hochzahl schauen. wenn x hoch 5 da steht dann ist es ein polynom vom grad 5

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