Frage von sideswipe, 71

Was ist die Stammfunktion von ln(x)/x?

Bitte Schritt für Schritt und nicht nur die Lösung, komme nicht weiter. Ich habe mich für die Integration durch Substitution entschieden.

Antwort
von ProfFrink, 51

In diesem Fall empfehle ich die partielle Integration. Wirst sehen, dass es anfänglich so aussieht als wenn Du Dich im Kreis drehst. Aber dann schau Dir Dein vorläufiges Ergebnis an und betrachte es als Gleichungssystem.

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 47

Lösung mit partieller Integration:

Formel: Int(uv')=uv-Int(u'v)

f(x)=ln(x) * 1/x

u=ln x; u'=1/x
v'=1/x; v=ln x  <-- hier muss man natürlich voraussetzen, dass man das
                            weiß...

in die Formel eingesetzt:

Int(ln(x) * 1/x) = ln(x) * ln(x) - Int(1/x * ln(x))   |+Int(1/x * ln(x))
2 * Int(...) = ln²(x)                                            |:2
Int(...) = ln²(x)/2

Kommentar von sideswipe ,

geht das auch mit Substitution oder muss ich die pat. Integration anwenden?

Kommentar von Rhenane ,

geht auch:

Ist mit dem "du/dx-Kram" nicht für jedermann leicht nachzuvollziehen:

u=ln(x) ; abgeleitet: du/dx=1/x => dx=du/x

=> Int(ln(x)/x dx)= Int(u du) = 1/2 u² = 1/2 ln²(x)


Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 32

u=lnx

x=e hoch u

x ' = e hoch u

dx = x ' • du

Stammf = 1/2 u²

also 1/2 • (ln x)²

Antwort
von poseidon42, 14

f(x) = ln(x) * (1/x)

Beachte:

(ln(x))´ = 1/x

Damit folgt sofort:

Int( f(x)dx ) = Int ( ln(x)*(1/x) dx ) = 0.5* Int( 2*ln(x)*(1/x) dx )

Inverse Kettenregel:

da  (u(x))²  =  2*u´(x)*u(x)   folgt hier mit u(x) = ln(x)

0.5* Int( 2*ln(x)*(1/x) dx ) = 0.5*ln(x)² + const.

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