Was ist die Masse der Erdrotation?

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3 Antworten

Die Formel ist ja denkbar einfach:

m_[rot] = E_[rot]/c² = ½·Θ·ω²/c²,

wobei Θ, in der Schule auch J geschrieben, das Trägheitsmoment ist (in der Theorie des Atoms verwendet man J für einen Gesamtdrehimpuls, deshalb ziehe ich generell Θ vor).

Im Allgemeinen ist Θ ein Tensor, sodass die Richtungsabhängigkeit dieser Größe berücksichtigt wird. Hier brauchen wir das nicht, denn die Erde lässt sich näherungsweise als Kugel beschreiben.

Verwenden wir jedoch die Formel für eine homogene Kugel, so werden wir sie überschätzen. Die Erde ist einerseits ein Rotationsellipsoid, Θ erhöht, andererseits nimmt die Dichte nach außen ab, sodass sich ein kleineres Trägheitsmoment ergibt als bei Annahme einer konstanten Dichte.

Das kann man natürlich modellieren, je nachdem, wie genau man es braucht, mit einer Vollkugel im Inneren und einigen Hohlkugeln weiter außen bis zur Oberfläche oder sogar mit Atmosphäre (die, wenn auch minimal, tatsächlich dazu beitragen soll), multipliziert mit einem Faktor größer 1 wegen der Verformung, aber wenn Andere das schon gemacht haben und bereit sind, ihr Wissen mit uns zu teilen, braucht man das Rad nicht neu zu erfinden.

Ich habe es auch nicht getan, sondern einfach Wolframalpha 

(https://www.wolframalpha.com/input/?i=earth%27s+rotational+energy)

aufgerufen und mir ausgeben lassen, dass

Θ = 8,0358×10³⁷kg·m²

ist. Ich habe mir aber auch gleich die Rotationsenergie

E_[rot] = 2,137×10²⁹J

ausrechnen lassen (»rotational mass« scheint nicht eindeutig genug zu sein, da »faselt« WA etwas von Halsketten, Perlen und Farben, weil es das als Kombinatorik-Frage interpretiert).

Durch c² geteilt kommt etwa

m_[rot] = 2,378×10¹²kg

heraus, etwas weniger als @clemensw in seiner Rechnung mit der homogenen Erde herausbekommen hatte. Will man nur die Größenordnung wissen und hat man vielleicht gar keinen Computer zur Verfügung, ist die Rechnung mit der homogenen Kugel völlig im Rahmen.

Bei Kopfrechungen bastle ich mir die Zahlen gern so hin, dass sie einfacher zu händeln sind. Die Gravitationskonstante beispielsweise veranschlage ich als (2/3)×10⁻¹⁰m³/(kg·s²). Soll ich durch c² teilen, mache ich den Zähler etwas größer (darauf achtend, dass sie dann durch 9 teilbar wird) und teile durch 9×10¹⁶m²/c².

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Schritte zur Lösung:
Formel fürTrägheitsmoment einer Kugel nachsehen, Rotationsenergie mit Masse und Rotationsfrequenz der Erde berechnen, durch c² teilen.

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Kommentar von SlowPhil
25.08.2016, 18:33

Schritt 2 und 3: D'accord. Schritt 1 ist allerdings nicht so trivial, wie es auf den ersten Blick scheint, da die Erde keine homogene Kugel ist. Ihre Dichte nimmt nach innen hin zu, das muss man berücksichtigen.

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Formelmäßig kann man das sehr einfach audrücken:

m c² = .5 J ω²

Das Problem ist die Berechnung des Trägheitsmoments J, da die Erde kein starrer Körper konstanter Dichte ist.

Aber nachdem Du wahrscheinlich einen Zahlenwert haben willst, hier eine ungefähre Näherung unter der Vereinfachung "Erde = starrer Körper mit konstanter Dichte"

J = 2/5 m r²

m = 5,97*10^24 kg

r = 6,37 * 10^6 m

=> J = 9,7 * 10^37 kg m²

ω ergibt sich aus der Tageslänge mit 24*60*60 = 86400s

ω = 2 * Pi / 86400s = 7,27 * 10^-5 rad/s

Somit

E(rot) = .5 J ω² = 2,56 * 10^29 J

Das Masseäquivalent wäre also:

m = E / c² = 2,56 * 10^29 J / (3*10^8 m/s)² = 2,84 * 10^12 kg

Klingt zwar nach viel, ist aber im Vergleich zur Erdmasse verschwindend gering (zum Vergleich: Nur die Lufthülle der Erde wiegt bereits 5,13 * 10^18kg)

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Kommentar von Wechselfreund
25.08.2016, 18:39

Danke, zur Berechnung war ich zu faul...

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