Frage von TimShaw, 30

Was ist die Definition- und die Lösungsmenge("Bruchgleichungen")?


Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 17

Das kann man für den Normalgebrauch festlegen:

Alles, was in x zulässig ist, heißt Definitionsbereich z.B. einer Funktion.
Die berechneten y-Werte sind die Wertmenge (Wertebereich, Lösungsmenge).

Mit Brüchen hat es vordergründig nichts zu tun.
Wenn du allerdings nur endliche Brüche als Definitionsmenge haben willst, sagst du, die Funktion sei nur in Q definiert (Menge der rationalen Zahlen = Brüche).

Dann erreichst du natürlich die reellen Punkte der x-Achse gar nicht erst.


Kommentar von Volens ,

Muss heißen: Dann erreichst die anderen reellen Punkte, also die irrationalen, nicht!

Kommentar von ReimundAcker ,

Die Antwort ist falsch. Es wurde nach der Lösungsmenge einer Gleichung gefragt, nicht nach dem Wertebereich einer Funktion.

Kommentar von Volens ,

Wer Ohren hat zu hören, der höre.
Das gilt auch für die Augen.
Im Text steht sehr deutlich (inkl. sofort nachgelieferter Korrektur):

Dann erreichst du natürlich die irrationalen Punkte der x-Achse gar nicht erst.

Kommentar von Volens ,

Bei mir steht im Titel "die Definitions- und die Lösungsmenge".

Bei dir nicht?



Antwort
von ReimundAcker, 11

Die Definitionsmenge einer Gleichung T1(x) = T2(x) von Termen T1(x) und T2(x) mit einer Unbekannten x besteht aus denjenigen Elementen x der Grundmenge, für die T1(x) und T2(x) wohldefiniert sind.

Zum Beispiel ist in der Gleichung

     2/x = 1/(x-1)

der Term 2/x für x=0 nicht definiert und der Term 1/(x-1) für x=1 nicht definiert, weil sonst im Nenner jeweils 0 stehen würde. Daher gehören 0 und 1 nicht zur Definitionsmenge D dieser Gleichung. Falls die Grundmenge Q ist, gilt also

     D = Q \ {0, 1}.

Die Lösungsmenge L der GLeichung besteht aus denjenigen Elementen x der  Definitionsmenge D, für die T1(x) = T2(x) ist; also

     L = { x∈D | T1(x) = T2(x) }.

Im Falle der obigen Gleichung erhält man durch multiplizieren mit dem Hauptnenner x(x-1) die Gleichung

     2(x-1) = x

und daraus, indem man x auf die linke Seite bringt:

     x = 2.

Die Gleichung hat also höchstens die Lösung 2, und da 2 auch in der Definitionsmenge D liegt, ist 2 tatsächlich eine Lösung der ursprünglichen Gleichung. Ihre Lösungsmenge ist also L = { 2 }.

[Vorsicht: Die Antworten von Volens und Neunerschale sind falsch, siehe meine Kommentare dort.]



Kommentar von Volens ,

Vorsicht bei Aussagen dieses Antwortgebers.
[ Siehe meinen Kommentar zu dem seinigen. ]
:-)

Antwort
von Neunerschale, 14

Definitionsmenge = alles, was du einsetzen darfst
Lösungsmenge = alles, was rauskommen kann

Kommentar von ReimundAcker ,

Bei einer Gleichung kann nichts "rauskommen". Die Antwort würde eher passen, wenn nach Definitions- und Wertemenge einer Funktion gefragt worden wäre.

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