Was ist die Ableitung von X hoch 4 - a mal x hoch 2?

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4 Antworten

Wenn ich es richtig verstehe hast Du die Funktion f(x)=x^4-a*x² oder meinst Du f(a)=x^4-a*x²?

Es hängt davon ab nach welcher Variable Du ableitest, also nach x oder a.

Nehmen wir erst an Du leitest nach x ab. Zunächst benötigst Du die Summenregel, wie man Potenzen ableitet und wie man Konstanten behandelt.

Die Summenregel besagt folgendes:

(f(x)±g(x))´=f´(x)±g´(x)

Diese Regel lässt sich mit der h-Methode herleiten:

Differentialquotient: (f(x+h)-f(x))/h

Setzen wir ein erhalten wir: (f(x+h)-f(x)±g(x+h)-g(x))/h

Dieser Bruch lässt sich einfach aufteilen und daraus folgt:

(f(x+h)-f(x))/h ± (g(x+h)-g(x))/h

Was wiederum: f´(x)±g´(x) heißt.

Wie man Potenzfunktionen ableitet kann mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen. Es geht auch mit dem Differentialquotienten, der ist allerdings recht groß im Vergleich zu diesem. Werde das hier weitgehend formal machen. 

Folgendes wird besagt: (x^n)´=n*x^(n-1)

Wir nehmen erst mal die natürlichen Zahlen ohne null und eins.

n ∈ lN*\\{1}

Behauptung: (x^n)´=n*x^(n-1)

Induktionsanfang: n*x^(n-1)=((x+h)^n-x^n)/h mit n=2

2*x^(2-1)=((x+h)²-x²)/h

Wir können links vereinfachen:

2x=((x+h)²-x²)/h

Weiter können wir links nichts machen, also müssen wir rechts weiter vereinfachen.

((x+h)²-x²)/h=((x²+2*x*h+h²)-x²)/h=(h²+2xh)/h=(h+2x)*h/h=2x+h

Da wir ja die ganze Zeit noch den Grenzwert von h -> 0 haben, können wir den nun auf 0 setzen.

Wir erhalten: 2x und damit die Aussage:

2x=2x

Damit haben wir unseren Induktionsanfang.

Induktionsannahme: Wir nehmen nun für ein beliebiges k, wobei k ∈ lN*\\{1} ist. Achtung, k ist in dem Fall nicht n.

k*x^(n-1)=((x+h)^k-x^k)/h

Zu zeigen wäre: (k+1)*x^k=((x+h)^(k+1)-x^(k+1))/h

Allerdings geht es auf anderem Wege schneller, indem wir zeigen wollen das: (x^(k+1))´=(k+1)*x^k

Schließlich haben wir beim Induktionsanfang für das kleinste n lediglich gezeigt das (x²)´=(2x^(2-1)) ist. Das lässt sich natürlich mit dem Differentialquotienten überprüfen. Denn ((x+h)^n-x^n)/h ist dasselbe wie (x^n)´.

Wir fassen x^(k+1) als Produkt: x*x^k auf.

=> (x*x^k)´=(k+1)*x^k

Wir nehmen die Produktregel dazu, die werde ich hier nicht beweisen. Wenn Dich das stört, dann versuche es selbst mit dem Differentialquotienten beweisen. Hier eine Hilfe: http://www.mathepower.com/terme.php

=> (x*x^k)´=x´*x^k+x*(x^k)=1*x^k+x*k*x^(k-1)=x^k+k*x^k+x^k=(k+1)*x^k

Wir haben gezeigt was zu zeigen war.

q.e.d

Zuletzt benötigen wir die Multiplikation mit einer Konstanten.

Behauptung: (x*f(x))´=x*f´(x)

Wir setzen in den Differentialquotienten ein:

(c*f(x+h)-c*f(x))/h = c* (f(x+h)-f(x))/h = c*f´(x)

Damit haben wir alle Voraussetzungen um die Funktion zu differenzieren.

Also Deine Funktionen waren:

f(x)=x^4-a*x²

und

f(a)=x^4-a*x²

Leiten wir zuerst nach x ab.

Die Produktregel splittet wie folgt auf:

h(x)=x^4 und g(x)=a*x²

Bestimmten wir von der Potenzfunktion die Ableitung:

h´(x)=4x und von der anderen: g´(x)=a*2x

Setzen wir zusammen:

f´(x)=4x-a*2x

Bei f(a)=x^4-a*x² müssen wir lediglich a ableiten.

f´(a)=x^4-1*x²

Also: f´(a)=x^4-x²

Nochmal zusammenfasst:

f´(x)=4x-a*2x

f´(x)=x^4-x²

Wenn Du das verstanden hast solltest Du niemals wieder Probleme mit solchen Funktionen haben. :-)

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a ist normalerweise eine Konstante, die nicht abgeleitet wird. Also einfach so tun als ob statt "a" beispielsweise Pi dortstehen würde.

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Kannst du da auch noch klammern setzten, so dass man weiß wie genau das a jetzt da steht?

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Kommentar von Modebloggerin
03.09.2016, 15:42

fa (x) = (x hoch 4) - a mal (x hoch 2)

0

Du leitest immer nach einer Variable ab.

Meistens wird diese als x bezeichnet.

a stellt dabei nur einen Parameter bzw. Koeffizienten dar, der für eine Zahl steht.

f(x) =  x⁴ - ax²

f'(x) = 4x³ - 2ax

Beachte a einfach gar nicht. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

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