Frage von Mohle03, 90

Was ist die Ableitung - logisch erklärt?

Was die Ableitung mathematisch ist, weiß ich. Aber was ist die Ableitung logisch erklärt? In welchem Zusammenhang steht das mit der Welt? Bzw. wieso kann man einfach die Funktion "abändern" und hat dann eine Ableitung? Das muss doch irgendeinen Sinn haben, sonst hätte es Newton/Leibniz nie erfunden/entdeckt.

Danke im Voraus :)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von clemensw, 24

Ganz einfach erklärt: Wenn du eine Funktion betrachtest, dann ist die Ableitung die Steigung der Kurve an diesem Punkt. 

Es gibt zahlreiche Beispiele aus der Physik, wo Ableitungen angewendet werden, z.B. in der Mechanik bei beschleunigten Bewegungen:

s(t) = v0 × t  + 0.5 × a × t^2

v(t) = v0 + a × t

Die Formeln kennst Du sicher noch aus dem Physik-Unterricht, aber wenn Du jetzt mit dem Wissen über Ableitungen nochmal genau hinschaust, dann fällt dir auf, dass v(t) die Ableitung von s(t) ist:

v(t) = s'(t)

Genau so zwischen Impuls und Energie:

E = .5 × m x v^2

p = m × v

Kommentar von Mohle03 ,

Danke ! :)

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 19

Die (erste) Ableitung einer Funktion gibt die Steigung jener Funktion an.

Grundsätzlich gilt:

Die Ableitung der Strecke ergibt die Geschwindigkeit.

Die Ableitung der Geschwindigkeit (und somit die zweite Ableitung der Strecke) ergibt die Beschleunigung.

Daraus kann man sehr viel folgern.

Hast du beispielsweise ein t-s-Diagramm, ist die Ableitung die Steigung des Graphen und somit kannst du damit die Geschwindigkeit an einem bestimmen Punkt berechnen.

Selbiges gilt für die Beschleunigung.

Leitest du die Ableitung noch einmal ab, kannst du die Beschleunigung bestimmen.

Und was das bringt, kann sich wohl jeder selbst beantworten. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Antwort
von gfntom, 41

Die Ableitung gibt für jeden Punkt einer Funktion die Steigung in diesem Punkt an.

In einem Weg-Zeit-Diagramm ist das etwa die (Momentan-)Geschwindigkeit. In einem Geschwindigkeits-Zeit Diagramm die Beschleunigung, etc.

Kommentar von Mohle03 ,

Danke :)

Antwort
von Australia23, 13

In welchem Zusammenhang steht das mit der Welt?

Viele Prozesse (vor allem der Natur) können mittels Funktionen beschrieben werden. Oft kann man jedoch nur die Änderung des Prozesses mit der Zeit beobachten, also kennt man die Ableitung der gesuchten Funktion nach der Zeit. Anhand dieser kann häufig die Funktion selbst hergleitet werden (mittels Differentialgleichungen). Nun kennt man also eine Funktion, mit welcher z.B. "Voraussagen" zum jeweiligen Prozess möglich sind, was in Naturwissenschaften (und wahrscheinlich auch anderen Bereichen) von grosser Bedeutung ist.

Aber auch die Ableitung einer (bekannten) Funktion selbst findet viele Anwendungen. Sie beschreibt dir ja sozusagen, wie ein Prozess von anderen Grössen (Zeit, Temperatur, Druck, ...) beeinflusst wird. 

Ein Bsp. aus der Physik: Wie ändert sich die Geschwindigkeit eines Körpers mit der Zeit? -> Beschleunigung

Bsp. aus der Chemie: Die Abhängigkeit der Änderung der Gibbs-Energie (sagt dir, ob eine Reaktion freiwillig/spontan ablaufen wird, oder nicht) von Druck oder Temperatur kann mittels Ableitung berechnet werden.

Aber nicht nur in Naturwissenschaften, sondern auch z.B. in der Wirtschaft werden Ableitungen von Funktionen verwendet (da kenne ich mich jedoch nicht aus, daher kann ich dir kein Bsp. liefern).

Bzw. wieso kann man einfach die Funktion "abändern" und hat dann eine Ableitung?

Eine Erklärung findest du z.B. hier:

Die Ableitungsregeln sind also bloss "Abkürzungen", hergeleitet über den Differenzialquotienten.

Kommentar von Mohle03 ,

Danke :))

Antwort
von Manuel129, 30

Warum sind Ableitungen so wichtig..

Nehmen wir mal an du bist Aktionär. Ein Wissenschaftler möchte herausfinden, wie viel Wert die Aktie Für Dich hat, also nicht der eigentliche Wert der Aktie, sondern für welchen Wert du hoffst sie veräußern zu können.

also haben wir hier z.B eine Funktion A(t), die anzeigt, wie sich der Wert der Aktie ( realer Wert) über die Zeit hinweg verändert. Du kaufsteine Akte beispielsweise für 10 Euro ein, nach 2 Tagen hat sie allerdings schon einen Wert von 20 Euro. Für dich als Aktionär heißt das: Aktie behalten und davon ausgehen, dass sie bald 50 oder hundert wert ist! Der Wert, den du der Aktie beimisst, ist also sehr viel höher, als der reale Wert, und zwar auf Grund der Steigung des Wertes A'(t).

Nehmen wir jetzt mal an, die Funktion A(t) hätte am ersten Tag den Wert 10 Euo, am Zweiten den Wert 20 Euro, am Dritten den Wert 30 Euro und so weiter, dann wäre A(t) eine Gerade mit einem bestimmten Winkel, die Steigung allerdings wäre eine konstante Zahl, über die ganze Zeitdauer gleichbleibend. Wenn A(t) am Ersten Tag 10 Euro, am zweiten Tag 30 und am Vierten 100 Wert wäre, würde die Steigung steigen.. oder wenn A(t) am ersten Tag 10 EUro, am zweiten 30 und am Dritten 35 wert wäre, würde der Wert der Aktie am dritten Tag zwar weiterhin steigen, die Steigung würde allerdings abnehmen! Eine Katastrophe! Jetzt kann man nur hoffen, dass die Steigung irgendwann wieder ansteigt, oder an verkauft sofort, aus Angst, dass die Steigung sogar bald negativ wird. Mathematisch ausgedrückt, würden wir also unsere Aktie verkaufen, sobald die Steigung der Steigung ( zweite Ableitung A''(t) ) negativ wird, denn  dann nimmt die Steigung der Aktie ab.

Wenn wir jetzt der Wissenschaftler wären, würden wir also den Wert, den die Aktie für dich hat, nicht nur aufgrund des tatsächlichen Wertes berechnen, sondern auch über die Steigung (A'(t)) und die Steigung der Steigung (A''(t))

Kommentar von Mohle03 ,

Danke für die tolle Erklärung :)

Antwort
von einfachsoe, 49

Ich weiß nicht wie deine mathematische Erklärung lautet, meine ist aber gleich der für die Welt.

Man muss sich zuerst fragen wofür die ursprüngliche Funktion steht. Sie kann die Anzahl der Menschen auf der Welt angeben, oder der Wasserpegel eines Flusses. Beides abhängig von der Zeit.

Die Ableitung gibt dann die Änderung des Wertes an. Für meine Beispiele wäre das, wie viele Menschen zum Zeitpunkt t geboren werden (oder sterben) oder wie viel Wasser in den Fluss fließt (oder heraus).

Diese Werte bestimmen die momentane Anzahl bzw. den Pegel.

Kommentar von Mohle03 ,

Also ist es sozusagen einfach ein Diagramm ? :)

Kommentar von einfachsoe ,

Es ist schon eine Funktion. Man betrachtet solche Dinge gerne als kontinuierlich und nicht als diskrete Schritte. Natürlich ist es in der Realität nicht möglich, dass 1,5 Menschen geboren werden. Das rundet man dann einfach.

Kommentar von Mohle03 ,

Alles klar, danke :)

Antwort
von Spongebob1994, 29

Die Ableitung ist einfach gesagt die Steigung der Steigung in einem Punkt :)

Antwort
von NMirR, 49

Die Ableitung ist die Steigung der Funktion, bei dem Strecke Zeit Diagramm einer Autofahrt also um Beispiel die Beschleunigung des Autos.

Kommentar von NMirR ,

die Geschwindigkeit meine ich natürlich

Kommentar von Mohle03 ,

Also wäre die Ausgangsfunktion die Strecke und die 1.Ableitung die Geschwindigkeit und die 2.Ableitung die Beschleunigung oder? :)

Kommentar von NMirR ,

genau

Antwort
von gilgamesch4711, 13

  Ich kenne die Gedanken des Alten über den Wolken.. Schau mal in Wiki, was eine ===> DGL ist. Sämtliche Naturgesetze sind in Form von DGL formuliert.

   Wer noch nie von Differenzialrechnung gehört hat, betreibt Matematik mit den Augen eines Kindes, das noch an Weihnachtsmann und Klapperstorch glaubt.

  " Warum ist es nötig, nicht an Weihnachtsmann und Klapperstorch zu glauben? "

   Ein Klassenkamerad von mir vertrat die Auffassung

   " Kinder, die noch nicht aufgeklärt sind, sind dumm. "

Kommentar von Mohle03 ,

Danke für die tolle Antwort :)

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