Frage von ToniKim, 53

Was ist der Unterschied zwischen n und n+1 natürlicher Zahlen?

Warum nutzt man bei vollständiger Induktion nicht n sondern n+1 im zweiten Schritt, um die Allgemeingültigkeit zu beweisen?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Rubezahl2000, 25

Der Unterschied zwischen n und n+1 ist genau 1 ;-)

Ob für die Induktionsannahme n und für den Induktionsschritt n+1 oder
ob für die Induktionsannahme n-1 und für den Induktionsschritt n genommen wird, das ist völlig egal!
Hauptsache es sind 2 variable, aufeinander folgende natürliche Zahlen.

Kommentar von ToniKim ,

Wegen geraden und ungeraden Zahlen?

Kommentar von Rubezahl2000 ,

Nein! Gerade/ungerade hat NICHTS damit zu tun.

Es geht darum, ob die Schlussfolgerung, um die es geht, von EINER (beliebigen) natürlichen Zahl auf die darauf folgende natürliche Zahl übertragen werden kann.
Wenn das der Fall ist, also wenn die Gültigkeit der Aussage, um die es geht, von EINER beliebigen natürlichen Zahl immer auf die darauf folgende natürliche Zahl übertragen werden kann, dann gilt die Aussage für ALLE natürlichen Zahlen.
Und darum geht's bei vollständiger Induktion, zu zeigen, dass eine Aussage für ALLE natürlichen Zahlen gilt.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 32

Irgendwann hat mal jemand damit angefangen, als Indizes für den Induktionsschritt n und n+1 zu nehmen, und alle haben das nachgemacht.

Selten, aber nicht niemals, habe ich auch gesehen, dass jemand die Indizes n-1 und n verwendet.

Ist mathematisch letztlich egal, man muss nur ein wenig aufpassen, wie man den Induktionsanfang formuliert.

Die Verwendung von n-1 und n hat hauptsächlich dann Vorteile, wenn man einem Computer Rekursion beibringen will - "n" ist ein zulässiger Variablenname, "n+1" nicht.

(Als Student hatte ich eine Studentenversion von Mathematica, da hab ich - wenig verwunderlich - regelmäßig Rekursionen und auch Induktionen von n-1, n-2, ... auf n gesehen.)

Antwort
von triggered, 28

Man setzt ja vorraus, dass die Aussage für n gilt (Induktionsbehauptung), und dann versucht man zu zeigen dass diese Aussage auch für n+1 gilt, und damit für alle n.

Man könnte zB auch vorraussetzen dass die Aussage für n-1 gilt, und dann auf n schließen, ist aber in wenigen Fällen einfacher.

Antwort
von Melvissimo, 11

Man kann beides machen. Anfangs sieht man häufiger die Variante "Wenn es für n gilt, gilt es auch für n+1"; das hat den Vorteil, dass man bei der Induktionsvoraussetzung 1 zu 1 die Behauptung abschreiben kann. Das eliminiert eine unnötige Fehlerquelle.

Aber tatsächlich sehe ich inzwischen häufiger die Variante "Wenn es für n-1 gilt, gilt es auch für n" oder gar "Wenn es für alle Zahlen <n gilt, dann gilt es auch für n".

Wichtig ist nur, dass du von den vorherigen Zahlen auf die nächste schließen kannst. 

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