Was ist der Unterschied zwischen einem Vektorraum V3 und dem Raum R^3 aller Tripel (ax, ay, ...., az)?

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2 Antworten

Ist ja toll, dass du uns auch ausreichend Informationen darüber gibst, was mit V3 gemeint sein soll (/s).

Was du suchst ist wahrscheinlich das Wort "isomorph".

Mengentechnisch können z.B. V3 und R³ verschieden sein, da die Elemente in V3 anders benannt sind. Wenn aber V3 als reeller dreidimensionaler Vektorraum die selbe Struktur hat wie der R³, dann nennt man ihn "isomorph" zu R³.

Dieselbe Struktur zu haben ist auch gut definiert, nämlich wie folgt:

Zwei Vektorräume V und V' über demselben Körper K heißen isomorph, wenn es zwischen ihnen einen Isomorphismus gibt, also eine Bijektion (Abbildung, die jedem Element V' genau ein Element aus V gibt) f: V -> V' mit den Eigenschaften:

f(0) = 0

f(k x + y) = k f(x) + f(y).

Die Strukturerhaltung kommt intuitiv daher, dass f eine Bijektion ist, wir können also jedem Element aus V' genau ein Element aus V zuordnen, und in den jeweiligen Vektorräumen übernehmen strukturell auch die Elemente x bzw. f(x) dieselben Rollen. f(0) = 0 ist gegeben, die Nullelemente sind also verknüpft, dazu werden Erzeugendensysteme auf Erzeugendensysteme, linear-unabhängige Mengen auf linear-unabhängige Mengen und Basen auf Basen abgebildet. Daraus folgt automatisch, dass zwei Vektorräume isomorph sind, wenn sie dieselbe (endliche) Dimension haben, also bekommst du sofort, was du in der Frage wolltest:

Jeder reelle 3-dimensionale Vektorraum ist isomorph zum R³. Damit können sie als Menge etwas komplett anderes sein, haben aber dieselbe Struktur, wenn du mit ihnen lineare Algebra betreiben willst.

LG

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Kommentar von DominikFrei93
15.03.2016, 23:26

Wow! Super erklärt! Ein großes Dankeschön Roach5 :-)

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Hast du mehr Informationen gegeben, was an dieser Stelle mit "Vektorraum V3" gemeint ist? Über welchen Körper soll das ein Vektorraum sein?

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