Was ist der Unterschied zwischen einem Integral, das in Betragsstriche gesetzt wird und der Integrandenfunktion, die in Betragsstriche gesetzt wird?

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2 Antworten

In deinem Beispiel macht das keinen Unterschied, weil x² bereits eine Funktion ist, die komplett im positiven liegt. 

Im allgemeinen kommt dabei aber einfach etwas anderes heraus. Wenn du einfach integrierst, dann gehen die Flächen dort, wo die Funktion unterhalb der x-Achse verläuft,  ja als negativ in das Gesamtintegral ein. Wenn du aber vorher den Betrag nimmst, dann werden diese Fläche sozusagen "hochgeklappt" und gehen dann als positive Anteile ein. 

Nimm man als Beispiel sin x im Bereich von 0 bis 2pi. 

Integrierst du das einfach so

l ∫ sin x dx l 

dann bekommst du einfach 0 heraus, der Hügel unterhalb ist dasselbe wie der Hügel oberhalb, die beiden heben sich weg, und der Betrag hinterher ist egal. 

Nimmst du aber vorher den Betrag

 ∫ |sin x| dx , dann hat das Integral einen deutlich positiven Wert, nämlich zweimal die Fläche des Hügels. 

 

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Bei x² gibt es natürlich keinen Unterschied, im allgemeinen ist das rechte Größer.

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