Was ist der Unterschied zwischen der h Methode und dem differentialquotienten?

Vom Prinzip her ist es dasselbe.
Wenn x0 der Punkt ist, an dem du die Ableitung wissen willst,
dann ist einfach
x0+h=x

ob du jetzt eben bei der linken Seite h gegen Null gehen lässt oder rechts x gegen x0, ist egal.

Hauptsache das Endergebnis geht gegen x0. Wie es da anstellt ist egal.

Du könntest auch x0-h betrachten und h gegen Null.
Dann nähert sich x eben von links an x0 an.

ändert auch nichts.

Alles Weitere ergibt sich einfach aus dem Grenzwert des Differenzenquotienten.

Setze x = x₀ +h, dann gilt

( f(x) - f(x₀) ) / (x - x₀) = ( f(x₀+h) - f(x₀) ) / (x₀+h - x₀) =

( f(x₀+h) - f(x₀) ) / h ,    d.h. die beiden Methoden sind gleichwertig.

Mit dem Differentialquotienten berechnest Du die Steigung an einer einzigen Stelle (x0), indem Du den Grenzwert des Differenzenquotienten für x gegen x0 berechnest. Du erhälst also eine konkrete Zahl.

Mit der h-Methode ermittelst Du die Steigung allgemein für jede (x-beliebige) Stelle. Der ermittelte Grenzwert wird also von x abhängen (außer bei Geraden, da wirst Du auch eine konkrete Zahl erhalten, weil Gerade nur eine Steigung haben). Der Grenzwert des Differenzenquotienten bei der h-Methode wird Dir als Lösung die Ableitungsfunktion liefern.

Mathematisch nichts, ersetze x-x0 durch h, dann wandelt sich eine Form in die andere um, nimm die, die für das jeweilige Problem technisch günstiger ist.

Ich finde, hier wird das schön erklärt: http://www.mathebibel.de/h-methode

Mit dem Differenzialquotient berechnet man die Steigung in einem konkreten Punkt einer Funktion. Mit der h-Methode berechnet man die Ableitungsfunktion, in der man die Steigung in beliebigen Punkte durch Einsetzen berechnen kann.

Beim Differenzialquotient ist ein Punkt fest gegeben und einen anderen lassen wir auf ihn zulaufen. Bei der h-Methode verringern wir den Abstand zu einem beliebigen Punkt bis auf 0.