Frage von IAlbOoZI, 33

Was ist damit gemeint, Mathe-Aufgabe?

"Zerlegen Sie in Faktoren"

a) -x³-4x²-x-6=0

Hornorschema als Thema, jedoch wenig darüber gemacht. Kann jemand helfen? was das bedeuten soll?

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe, 18

Das Hornerschema baut das Polynom rekursiv auf. Beim Einsetzen von x-Werten wird hierdurch eine Verringerung an Multiplikationen erzielt.

-x³-4x²-x-6 =((-x -4)x -1)x -6

Du fängst beim x mit dem höchsten Exponenten, seinem Koeffizienten und dem Nachbarkoeffizienten an. Hinter die Klammer kommt immer ein x.

Kommentar von IAlbOoZI ,

Habe ich nicht ganz verstanden, bedeutet das, dass ich die Aufgabe zusammenfassen soll? Also in Klammern?

Kommentar von Suboptimierer ,

Das Hornerschema wandelt die Funktion in eine rekursive Vorschrift um, bei der x in keiner Potenz höher als 1 vorkommt.

Die Aufgabe ist die Umformung, also das Zerlegen in Faktoren.

Kommentar von IAlbOoZI ,

Ich habe hier viel eher das Gefühl, dass Sie oder Du nicht helfen willst. Wenn ich doch sage, dass wir das Thema beinah garnicht gemacht haben kommen Sie/Du mit so begriffen wie "ekursive Vorschrift". 

Danke für die unnötige Antwort. Wenn Sie mit der Intention ran gehen würden, es wirklich zu erklären, würden das beginner verstehen. 

Kommentar von Suboptimierer ,

Da hat aber jemand Ansprüche ;P

Nee, dein Kommentar hat mich gerade zutiefst demotivert.

Ich wünsche dir viel Erfolg noch.

Kommentar von IAlbOoZI ,

Die Aufgabe an sich ist ja schon ein Anspruch, bei der Antwort kann ich gleich noch eine Fragestellung auf machen.

Danke dir auch.

Kommentar von Suboptimierer ,

Gern geschehen

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 8

Hallo,

wenn Du das Horner-Schema anwenden möchtest, drehst Du die Funktion so um, daß die höchste x-Potenz am Schluß steht:

f(x)=-6-x-4x²-x³

Nun formst Du nach einem bestimmten Schema so um, daß x nur noch als einfacher Faktor auftaucht, also nicht potenziert wird. Das geht so:

Die -6 läßt Du einfach stehen:

-6, dazu adierst Du das erste x und setzt dahinter die erste Klammer:

-6+x*(

Hinter diese Klammer kommt der Faktor, der vor dem x in der Funktion steht, das ist die -1:

-6+x*(-1

Nun wird das nächste x addiert und dahinter wieder eine Klammer geschrieben:

-6+x*(-1+x*(

Hinter diese Klammer kommt der Faktor, der vor dem x² stand, also die -4:

-6+x*(-1+x*(-4

Nun wird das dritte und letzte x addiert:

-6+x*(-1+x*(-4+x

Dies wird noch mit dem letzten Faktor, dem vor x³ multipliziert:

-6+x*(-1+x*(-4+x*(-1

Jetzt mußt Du den Sack nur noch zubinden. Du hast drei Klammern geöffnet, also mußt Du auch drei Klammern schließen:

-6+x*(-1+x*(-4+x*(-1)))

Das sieht völlig anders aus als die ursprüngliche Funktion, ist aber dieselbe. Das merkst Du, wenn Du alle Klammern wieder auflöst, wobei Du Dich von innen nach außen, hier also von rechts nach links durcharbeitest:

x*(-1)=-x (dazu kommt noch die -4, die auch in der Klammer steht. Alles zusammen wird dann mit dem x vor der Klammer multipliziert:

x*(-4-x)=-4x-x²

Auch hier nimmst Du die Zahl in der Klammer, diesmal die -1, dazu und multiplizierst wieder mit x:

x*(-1-4x-x²)=-x-4x²-x³

Nun kommt noch die -6 dazu und Du bist wieder am Anfang:

-6-x-4x²-x³

Wenn Du nun wieder die Reihenfolge der Summanden vertauschst, bist Du bei f(x)=-x³-4x²-x³-6

In der nach dem Horner-Schema umgeformten Funktion kannst Du etwas leichter Funktionswerte berechnen, weil du mit weniger hohen Zahlen rechnen mußt (das Potenzieren fällt schließlich weg).Für nähere Informationen siehe folgenden Link:

https://de.wikipedia.org/wiki/Horner-Schema

Wie man mit Hilfe des Horner-Schemas (diesmal in Form einer Tabelle), eine Polynomdivision ersetzen und nach Erraten der ersten noch weitere Nullstellen finden kann, siehst Du hier:

http://www.mathebibel.de/horner-schema

Das bringt aber in Deinem Fall nichts, weil Deine Funktion keine zu erratende Nullstelle besitzt, es sei denn, Du errätst eine Zahl wie -4,111694221

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von IAlbOoZI ,

Unfassbare Arbeit!

Auch wenn ich nicht alles verstanden habe, denn ich bin zwar die Schritte mehr mals durchgegangen, weiß aber immer noch nicht woher die -1 nach kommt. Das mit dem Umtauschen der Funktion ist mir auch Neu.

Vielen Dank ! Dafür gibts den Stern sobald er zur Verfügung steht.

Kommentar von Willy1729 ,

Die -1 ist der Faktor vor dem x³. -x³ ist ja nur eine verkürzte Schreibweise für (-1)*x³. Da eine 1 als Faktor nichts verändert, schreibt man sie nicht hin. Nur das Minus muß natürlich aufgeschrieben werden, weil dieses schließlich den Wert verändert.

Du schreibst normalerweise auch die 2 nicht als 2/1 oder eine 3 als 
3+0 oder als 3-0 oder als 3^1. All dies ändert ja nichts an dieser Zahl. Hin und wieder solltest Du Dir aber vor Augen halten, daß x eigentlich 1*x ist, oder daß eine Funktion wie f(x)=x³+2x-5 eigentlich bedeutet: f(x)=1*x³+0*x²+2*x^1-1*5*x^0

All dies steckt unsichtbar mit darin und kann bei manchen Rechenoperationen wieder auftauchen, so z.B. die -1 beim Horner-Schema.

Herzliche Grüße,

Willy

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