Frage von Snickers97, 40

Was ist 29*x - 14*z= 105 .. Eigentlich sollten für x und z ganze Zahlen eingesetzt werden, Könnt ihr mir helfen?

Mein Cousin kam mit dieser Frage zu mir, da er in der 5. Klasse ist, hatte ich wohl zu schwierige Lösungsansätze mit irgendwelchen Werten wie x = (14z+105)/29 das kann doch wohl kaum ein richtiger Lösungsansatz sein oder?

Vielen Dank für eure Hilfe schonmal! Es ist mir furchtbar peinlich das nicht selbst lösen zu können:D

Antwort
von ralphdieter, 13

Dein Ansatz ist eigentlich richtig (obwohl Auflösen nach z etwas einfacher wäre). Der Term (14z+105)/29 wird genau für ein 0≤z<28 ganzzahlig. Dazu probiert man entweder alle Werte durch oder muss mit höherer Mathematik aufwarten (Modulo-Rechnung).

Ein Fünftklässler kann aber die Gleichung wohl noch nicht nach einer Variable auflösen. Dann hilft generell nur probieren. Für diese spezielle Gleichung gibt's aber einen Trick:

105 ist durch 7 teilbar, 14z auch; also muss auch 29x durch 7 teilbar sein. Es reicht also, nur die Zahlen x=0, 7, 14, ... durchzurechnen.

Übrigens ist x=z=7 nicht die einzige Lösung. Erhöht man x um 14 und z um 29, tauchen die Summanden +29·14 und -14·29 auf, die sich aufheben. Also klappt's auch mit x=21, z=36 oder x=-7, z=-22.

Die allgemeine Lösung lautet: x=7+14k, z=7+21k für k∈ℤ.

Antwort
von iokii, 40

Du musst den Euklidischen Algorithmus anwenden.

Edit  : Doch nicht.

Kommentar von Snickers97 ,

Ich dachte schon:D trotzdem danke:)

Antwort
von BioTrox, 33

Nach z umstellen und dann einsetzen...

Antwort
von cleverino, 29

x=7, z=7

Antwort
von NMirR, 18

In der fünften Klasse muss er die Lösung durch Ausprobieren herausfinden.

Antwort
von Wechselfreund, 22

In der 5. Klasse dürfte es um Lösen durch probieren gehen:


Sinn Kopfrechnen Üben!


Antwort
von BVBDortmund1909, 27

Einsetzungsverfahren:

1.Nach x auflösen:

29x-14z=105|+14z

29x=105+14z|/29

x=(105+14z)/29

Wir erhalten:

| 29x-14z=105

|| x=(105+14z)/29

Aus || wird:

x=3,62+14/29z

Das wird in | eingesetzt:

29*(3,62+14/29z)-14z=105|Vereinfachen 

105+14z-14z=105

105=105,z=105

z=105 in || einsetzen:

x=3,62+14/29*105

x=54,31

Daraus folgt:

x=54,31

und 

z=105

Einsetzen zeigt:

29*54,31-14*105=105,stimmt:)

Liebe Grüße.

Kommentar von Wechselfreund ,

da er in der 5. Klasse ist ...

Kommentar von BVBDortmund1909 ,

Ausprobieren geht auch:)Dann wäre z=7 und x=7.

Kommentar von NMirR ,

der Lösungsweg ist totaler Unsinn.

Kommentar von BVBDortmund1909 ,

Einsetzungsverfahren ist also Unsinn?Der Kommentar war echt unnötig!;)

Kommentar von NMirR ,

ja, wie du auf z kommst, ist falsch. Z kann jedem beliebigen Wert annehmen. Nur weil 105 = 105 ist, heißt das nicht, das z auch 105 ist. Wenn du eine Gleichung umformst und in sich selbst einsetzt, kommt immer x = x heraus, also zum Beispiel 0 = 0 oder 8=8 oder eben 105 gleich 105. Darauf kann man nicht auf die Variablen schließen.

Kommentar von BVBDortmund1909 ,

Du hast Recht,da müsste stehen:

105+14z-14z=105|-105

0z=0 und 1z=105

Kommentar von NMirR ,

naja, das ganze ist doch überflüssig. man muss x oder z festlegen, damit man die jeweils andere Variable ausrechnen kann. Eine Gleichung mit zwei Unbekannten hat unendlich viele Lösungen, nur wenn du eine der unbekannten willkürlich definierst, kommst du auf die andere. du der erste Teil der Rechnung ist bei dir also komplett überflüssig, du hättest sofort z = 105, z = 45,8 oder jede beliebige andere Zahl benutzen können, du hättest immer ein x herausbekommen.

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