Was haben Raum und Zeit denn gemeinsam?

Raum und Zeit haben gemeinsam, dass es in ihnen Distanzen und Längen gibt, wobei zeitliche Längen üblicherweise als Zeitspanne oder Dauer bezeichnet werden, etwa zwischen zwei Ereignissen

(1) E₁(t₁| x⃗₁) = E₁(t₁| x₁₁| x₂₁| x₃₁) und E₂(t₁| x⃗₂) = E₂(t₂| x₁₂| x₂₂| x₃₂),

nämlich die Zeitspanne

(2.1) |Δt| = |t₂ – t₁|

und die räumliche Distanz

(2.2) |Δx⃗| = |x⃗₂ – x⃗₁| = √{∑ₖ₌₁³ (xₖ₂ – xₖ₁)²}.

Im Rahmen der altklassischen Mechanik ist der Raum von der Zeit abhängig, die Zeit aber nicht vom Raum.

Das Galilei'sche Relativitätsprinzip (RP) besagt, dass Bewegung relativ ist und die Naturgesetze in relativ zueinander bewegten Koordinatensystemen K und K' gleich sein müssen, sodass man jedes der beiden als ruhend betrachten darf. Sie werden mit den Galilei-Transformationen

(3.1) Δt'   = Δt
(3.2) Δx₁' = Δx₁ – v·Δt
(3.3) Δx₁ = Δx₁' + v·Δt' = Δx₁' + v·Δt

ineinander umgerechnet, wobei wir hier vorausgesetzt haben, dass x₁ die Bewegungsrichtung ist.

Die zeitliche Distanz zwischen den Eₔ (a=1,2) ist altklassisch unabhängig vom verwendeten Bezugssystem, d.h. davon, welches Koordinatensystem man als das ruhende betrachtet

Die räumliche Distanz ist hingegen nur dann eindeutig bestimmt, wenn die Eₔ auch gleichzeitig sind; anderenfalls gibt es immer auch ein Koordinatensystem, in dem sie »gleichortig« sind.

Die Gleichungen (3.1-3) lassen freilich die Lichtgeschwindigkeit c nicht unverändert. Die muss aber ebenfalls dem RP unterliegen, da die Lichtausbreitung mit c aus den Gesetzen der Elektrodynamik folgt, die als Naturgesetze ebenfalls dem RP unterliegen müssen. Dem tragen die Lorentz-Transformationen

(4.1) Δt'   = (Δt – (v/c²)Δx₁)/√{1 – (v/c)²} 
(4.2) Δx₁' = (Δx₁ – v·Δt)/√{1 – (v/c)²} 
(4.3) Δt   = (Δt' + (v/c²)Δx₁')/√{1 – (v/c)²}
(4.4) Δx₁ = (Δx₁' + v·Δt')/√{1 – (v/c)²}

Rechnung, die sich aus der Forderung c'=c herleiten lassen.

Aus (4.1-4) ist erkennbar, dass nicht nur der Raum von der Zeit abhängig ist, sondern auch die Zeit vom Raum. Falls die Eₐ nicht »gleichortig« sind, hängt ihre Gleichzeitigkeit respektive ihre zeitliche Distanz und ggf. sogar ihre zeitliche Reihenfolge vom verwendeten Bezugssystem ab.

Da c eine universelle Konstante ist, lassen sich zeitliche und räumliche Distanzen mit ihrer Hilfe auf natürliche Weise auf dieselbe Maßeinheit bringen. Mit

(5.1) x₀ := ct
(5.2) β := v/c
(5.3) γ := 1/√{1 – (v/c)²} = 1/√{1 – β²}

lassen sich (4.1-4) als

(6.1) Δx₀' = γ(Δx₀ – β·Δx₁) 
(6.2) Δx₁' = γ(Δx₁ – β·Δx₀) 
(6.3) Δx₀ = γ(Δx₀' + β·Δx₁')
(6.4) Δx₁ = γ(Δx₁' + β·Δx₀')

schreiben. Zudem ist per definitionem

(7.1) γ² – γ²β² ≡ 1,

weshalb es eine Größe ς namens Rapidität mit

(7.2) γ   = cosh(ς)
(7.3) γβ = sinh(ς)

gibt und sich (6.1-4) als

(8.1) Δx₀' = Δx₀·cosh(ς) – Δx₁·sinh(ς)
(8.2) Δx₁' = Δx₁·cosh(ς) – Δx₀·sinh(ς)
(8.3) Δx₀ = Δx₀'·cosh(ς) + Δx₁'·sinh(ς)
(8.4) Δx₁ = Δx₁'·cosh(ς) + Δx₀'·sinh(ς)

schreiben lassen,woraus ersichtlich ist, dass die Lorentz-Transformation »um« die Rapidität in der Raumzeit das ist, was im Raum eine Drehung um einen Winkel ist.

Dass hier Hyperbelfunktionen an die Stelle der trigonometrischen Funktionen treten, hängt mit der aus der Forderung der Invarianz von c folgenden Minkowski-Metrik (die eigentlich eine uneigentliche Metrik ist, da der Abstand zweier verschiedener Punkte gleich 0 sein kann, nämlich, wenn sie mit einem Lichtsignal verbunden sein könnten). Die Raumzeitliche Distanz der Eₐ ist

(9) d(E₁, E₂) = √{(Δx₀)² – Δx⃗·Δx⃗} ≡ √{(Δx₀')² – Δx⃗'·Δx⃗'},

wobei Δx⃗·Δx⃗ = ∑ₖ₌₁³ (xₖ₂ – xₖ₁)² ist.

Das Minuszeichen unterscheidet fundamental Zeit und Raum voneinander.

Manchmal wird die Zeit als eine Art imaginärer Raumdimension (im Sinne der »Kunst-Zahl« i mit i² = –1) behandelt, aber es ist eigentlich sinniger, die Raumdimensionen als imaginär zu betrachten, da die +x₁-Richtung und die –x₁ - Richtung gegeneinander austauschbar sind, die i und –i auch. Eigentlich ist die Zeit das Reelle.

Die detaillierte "Experten-Antwort von "SlowPhil" kennst Du ja schon.   Ich biete Dir eine "Otto-Normalverbraucher"-Antwort an:                    Raum und Zeit sind untrennbar miteinander verbunden. Deshalb spricht man auch von "Raum-Zeit". Wobei wir den 3-dimensionalen Raum gegenwärtig wahrnehmen können und die abhängige Zeit eigentlich nicht. ZEIT ist sowas wie der (unsichtbare) Motor der gegenwärtigen Geschehnisse im Raum, unabhängig davon ob sich etwas in Bewegung befindet oder eben nicht. Auch völlig bewegungslos bewegt sich alles räumlich wahrnehmbare in der ZEIT. Vergangenheit und Zukunft dagegen sind eigentlich nur künstliche "Hilfs-Begriffe", damit wir auseinander halten können, was schon geschehen ist und was eben noch nicht. 

Nur in der Gegenwart der Raum-Zeit nehmen wir mit unseren normalen 5 Sinnen "real" wahr und können Dinge und Abläufe bewusst verändern. Wobei es aber sein könnte, dass im Raum außerdem noch anderes existiert, was wir nur nicht mit unseren 5 Sinnen wahrnehmen können.

Naja sie funtionieren zusammen, so wir der Raum sowie die Zeit ja auch gleichermaßen verändert, beide hängen also sehr stark voneinander ab.

Zeit ist quasi die Messeinheit, mit der man das vergehen von Prozessen misst, Raum halt, wieviel, naja "Volumen" Dinge einnehmen, quasi. Du wirst aber auch immer feststellen, dass immer beides gleichermaßen beeinflusst wird. Erhöht sich die Geschwindigkeit? Raum und Zeit werden gleichermaßen beeinflusst. Bist du in er Nähe eines schwarzen Loches? Ebenso werden Raum und Zeit gleichermaßen beeinflusst.

Deswegen wird beides auch immer zusammen erwähnt, soweit ich weiss gibt es keine uns bekannte Möglichkeit, eines der beiden unabhängig voneinander zu manipulieren.

Beide sind nur scheinbar klar voneinander trennbare Aspekte der Raumzeit:

Der Zeitbegriff des Beobachters ergibt sich durch die Wahl eines Koordinatensystems, in dem dieser Beo­bachter ruht.

Konsequenz daraus ist (zitiert nach Kip S. Thorne): Wenn Sie und ich uns relativ zueinander bewegen, muss das, was ich als Raum bezeichne, eine Mischung aus Ihrem Raum und Ihrer Zeit sein, und das, was Sie Raum nennen, eine Mischung aus meinem Raum und meiner Zeit. 

Wenn man drei Raumdimensionen (x,y,z) und eine Zeitdimension (t) betrachtet, kann man alle vier als "linear unabhängig" betrachten. D.h. ich ändere z.B. x beliebig, das hat keinen Einfluss auf y, z oder t.

Mathematisch hat man dann ein "4er-Tupel" (x,y,z,t), das man als Beschreibung der sog. "Raumzeit" auffassen kann. Es definiert einen bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit.

In der Quantentheorie rechnet man oft mit solchen Tupeln. Es gibt auch den Begriff des sog. "Minkowski-Raums", auf Wikipedia kann man da etwas nachlesen, wenn man möchte. Auch die spez. Relativitätstheorie macht Gebrauch von diesen "vierdimensionalen" Räumen.