Frage von Firas2, 184

Was gibt es sonst noch für "unlogische" aber richtige Mathegleichungen?

Ich kenne folgende:

0!=1

(Wurzel) 4= 2=-2

0^0=0=1

x/0= etwas zwischen +unendlich und -unendlich wenn x=/=0

1+1-1+1-1+1-1...=1/2

1+2+3+4+5+6+7+8+9+...=-1/12

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 32

Es gibt keine unlogischen und zugleich richtigen mathematischen Gleichungen, da die Logik die Grundlage der Mathematik ist.

Aber fangen wir an: 

0! = 1:

»Ist so definiert«, könnte man einfach sagen, vielleicht noch »aus praktischen Gründen«, da ein Produkt nicht die Null enthalten dürfe, wenn es nicht selbst 0 sein soll.

Man kann aber auch sagen, dass n! n Faktoren hat. Somit hat 0! 0 Faktoren und ist ein leeres Produkt, das als 1 definiert ist, das neutrale Element der Multiplikation.

√{4} = 2 = –2:

Das ist Quark, 2 und –2 sind definitiv voneinander verschieden, es sei denn, man befinde sich im Restklassenring ℤ₄ - oder im Restklassenkörper ℤ₂, wo aber 2 auch noch gleich 0 ist. Wir sind aber in ℝ, und da sind –2, 0 und +2 verschieden.

Man könnte die Quadratwurzel als nicht-eindeutige Relation definieren und sagen, die 4 habe halt zwei voneinander verschiedene Quadratwurzeln (wie übrigens jede positive Zahl). Tatsächlich definiert man sie als Funktion, und nach dieser Definition ist eben eindeutig +2 die Quadratwurzel von 4, und nicht –2.

0^0=0=1:

0 ist nicht 1, übrigens in keinem Körper, und 0⁰ ist nicht definiert. Die 0 nimmt unter den Zahlen (egal ob unter den Reellen oder den Komplexen Zahlen) eine Sonderrolle ein, da sie »der große Plattmacher« unter den Zahlen ist, denn 0·a=0 ∀a∈ℝ.

x/0 = etwas zwischen +∞ und -∞ wenn x≠0:

Etwas dazwischen schon mal gar nicht, aber auch nicht +∞ oder –∞. Es ist einfach nicht definiert, 0 hat keinen Kehrwert. Der Grund ist übrigens nicht der, dass das Ergebnis unendlich wäre, sondern wegen der fehlenden Eindeutigkeit aufgrund der oben erwähnten Plattmacher-Eigenschaft.

1+1-1+1-1+1-1...=1/2:

Auch falsch. Diese alternierende Reihe ist nicht konvergent, d.h. sie besitzt keinen Grenzwert. Bestimmt divergent ist die Reihe natürlich auch nicht.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+...=-1/12:

Ich habe keine Ahnung, wie man darauf kommen könnte. Die Summanden werden immer größer und sind alle positiv. Soll das stattdessen

1–2+3–4+5–6+7–8+9–…

heißen? Das wäre wenigstens eine alternierende Reihe, allerdings auch nicht konvergent.

Kommentar von Willibergi ,

"Ich habe keine Ahnung, wie man darauf kommen könnte. Die Summanden werden immer größer und sind alle positiv."

Bei einer endlichen Grenze ist die Summe natürlich positiv, aber da die Summe die gesamten natürlichen Zahlen ist, also unendlich viele Summanden hat, hat sie den Wert -1/12.

Da gibt's etliche Beweise für im Internet.

Klingt auf den ersten Blick unglaublich unlogisch, ist aber sehr logisch, wenn man sich in die Materie eingelesen hat. ;)

LG Willibergi

Kommentar von SlowPhil ,

Die Reihe divergiert doch, oder wie oder was? Die Summanden bilden keine Nullfolge, schon gar keine monotone, sie alterniert nicht, sie enthält sogar keinen einzigen negativen Summanden.

Da ist doch ein verdammter Trick bei, so eine Reihe nicht nur überhaupt, sondern auch noch gegen eine negative Zahl konvergieren zu lassen!

Das will ich sehen!

Kommentar von kepfIe ,

Genauso wie es zu Riemann-Integralen als "Alternative" Lebesgue-Integrale gibt, gibt es zur "normalen" Summation die Abelsche oder die Ramanujan-Summation.  

Mit der Abelschen Summation kommt man der ersten Summe bei (und auch der alternierenden, die du vorgeschlagen hast. Ist dann 1/4). Ramanujan-Summation kann man auf die zweite werfen, dann kommt da auch -1/12 raus. Der hat die ganze Sache soweit ich weiß auch populär gemacht (in Fachkreisen).  

Gibt allerdings noch mehr Herangehensweisen, das überlass ich jetzt aber Willi^^

Kommentar von SlowPhil ,

Ich hab' da gerad' was gefunden, aber noch nicht durchdrungen:

https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF

Kommentar von Willibergi ,

Die Reihe ist divergent, ja.

Trotzdem hat sie ein negatives Ergebnis.

Das ist hier ganz schön erklärt:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/1\_%2B\_2\_%2B\_3\_%2B\_4\_%2B\_%E2%8B%AF

Oder auch hier auf Deutsch:

http://m.spiegel.de/wissenschaft/mensch/a-944534.html

Die ganze funktioniert so wie die Summierung von Grandi's Series, dort ist die unendliche Summe nämlich 1/2, trotz Divergenz. ;)

EDIT: Ich sehe, den ersten Link hast du eh schon gefunden. Für sowas ist Wikipedia super, aber etwas solches gibt es leider nicht auf Deutsch. ^^

LG Willibergi

Antwort
von ProUser, 84

Bis auf die erste Gleichung ist keine mathematisch richtig.

Die Wurzel aus 4 ist 2 und nicht -2.

0^0=1 Ich hab keine Ahnung wie du auf =0 kommst. Du multipliziert quasi 0 Mal die 0 mit sich selbst, danach bleibt nur noch das neutrale Element der Multiplikation übrig. Das ist die 1.
Division durch 0 ist NICHT unendlich. Division durch Null ist mathematisch nicht definiert.
Über die letzten Beispiele wird auch unter Mathematikern gestritten.

Kommentar von Willibergi ,

"0^0=1"

Nein, 0⁰ ist undefiniert - weder 1, noch 0.

Der Grenzwert von 0ⁿ gegen 0⁻ und der gegen 0⁺ sind ungleich, daher ist 0⁰ nicht definiert.

LG Willibergi

Kommentar von Willibergi ,

Was willst du mit dem Video aussagen?

Die Mathematik auf den Kopf stellen.

0⁰ = undef., das ist Fakt.

LG Willibergi

Kommentar von nm187 ,

Die Wurzel von 4 ist aber sowasvon -2! Rechne doch bitte mal -2*-2. Hmm? Kommt da etwa 4 raus?

Kommentar von Willibergi ,

@nm187: Nicht klugscheißen, wenn du es nicht besser weißt.

Da lieber mal die Klappe halten, das ist ein gut gemeinter Rat.

√4 ≠ -2

LG Willibergi

Kommentar von gfntom ,

√4 ist +2. - sonst nichts.

Die Gleichung x² = 4 hat zwar 2 Lösungen, nämlich +√4 und -√4jedoch ändert das nichts daran, dass √4 = 2 ist (und sonst nichts).

Kommentar von ProUser ,

Entschuldigung, ja stimmt. Erinner mich es anders gelernt zu haben, nach etwas Recherche ist allerdings klar dass ich falsch liege. danke dir

Kommentar von ProUser ,

@nm187 Muss dich leider enttäuschen. Obwohl man in der Gleichung x^2=4 als Lösung 2 und -2 erhält, ist die Wurzel anders definiert. "Die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl ist jene nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl ist."

Kommentar von nm187 ,

@ProUser hmm...na dann, wenn das so definiert ist. Entschuldigung, da hab ich nicht auf die Aufgabenstellung geachtet ;)

Antwort
von Physikus137, 24

Ich will mich nur zu den unendlichen Reihen äußern, die Ergebnisse sind durchaus mathematisch wohl begründet und auch sinnvoll. Jedenfalls in der Physik wird reicher Gebrauch davon gemacht.

Jedem der sich davon ein Bild machen möchte empfehle ich die Vorlesungsreihe von Prof. Carl Bender, die auf youtube zu finden ist.

Hier die erste: 


Antwort
von gfntom, 77

Du kannst es nicht lassen, oder?

Du stellst laufend Behauptungen auf die falsch sind und fragst, warum das so ist.
Es ist falsch, dass 2 = -2 ist.
Die Summen, die du oben hinschreibst sind falsch.

Was erwartest du?
Was würdest du Antworten, wenn ich dich frage, warum Hühnereier fünfeckig sind?

Kommentar von Firas2 ,

ich meine es teilweise Spaß und tteilweiise ernst. die wurzel von 4 ergibt wirklich beides, aber 2=nicht=-2

Kommentar von Willibergi ,

"die wurzel von 4 ergibt wirklich beides, aber 2=nicht=-2"

Die Wurzel aus 4 ergibt wirklich NICHT beides.

LG Willibergi

Kommentar von Willibergi ,

Die beiden Summen stimmen sogar.

LG Willibergi

Kommentar von SlowPhil ,

Die Summen stimmen? In welchem Universum? Eine alternierende Reihe

∑_[n=0]^{∞} {aₙ},

die nicht absolut konvergent, d.h. für die nicht

∑_[n=0]^{∞} {|aₙ|}

konvergiert, hat keinen bestimmten Grenzwert, sondern durch Umordnung lässt sich jeder beliebige Grenzwert erzeugen.

Die andere Reihe ist nicht einmal eine alternierende. Wäre sie es, wäre die Umordnung, die wahrscheinlich zu dem Resultat führt, nicht legitim.

vgl. auch

https://de.wikipedia.org/wiki/Alternierende_Reihe_(Euler)

Kommentar von Willibergi ,

s. o. :)

Kommentar von DietmarDreist ,

Lieber gfntom, wenn sie keine Ahnung von Mathematik und auch kein Interesse an mathematischen Problemen, die sie nicht verstehen habe, dann rate ich ihnen solche Beiträge in Zukunft einfach zu überlesen. 

Kommentar von gfntom ,

Seien sie mir nicht böse, wenn ich Ihren "Rat" nicht annehme, den ich übrigens sehr anmaßend finde.

Ich werde weder lesen noch nicht lesen, was sie mir "raten", noch gehe ich auf Ihre Prämissen ein, die sämtlich falsch sind.

Wenn Sie fachlich dem etwas entgegenzusetzen haben, was ich schreibe, so setze ich mich gerne damit auseinander. Wenn Ihnen aber einfach nur nicht passt was ich schreibe und sie keine Argumente dagegen finden, dann verläuft ihr unverschämter Versuch, mir hier Lese- oder Schreibverbot zu erteilen ins Leere.

Hätte ich die gleichen schlechten Manieren wie Sie, würde ich Ihnen gleicherweise raten, meine Beiträge nicht zu lesen, wenn sie Ihnen nicht behagen. Da ich mir im Gegensatz zu Ihnen dies nicht anmaße, unterlasse ich das.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 44

0! = 1, das ist laut Definition der Fakultät so.

√4 = 2 ≠ -2, da die Wurzel einer Zahl als positiv definiert ist.

0⁰ = undef., wird aber von Mathematikern oft so definiert, wie es gerade sinnvoll ist.

x/0 = undef., da sonst etliche Widersprüche entstünden.

1+1-1+1-1+1-... = 1/2, da hier eine unendliche Summe vorliegt.

1+2+3+4+5+6+7+... = -1/12, ebenfalls eine unendliche Summe.

Mathematik ist niemals unlogisch, da sie eng mit der Logik vernetzt ist.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

Kommentar von Firas2 ,

was ist mit (Wurzel) -1

Kommentar von Willibergi ,

√-1 ist reell nicht definiert, allerdings komplex schon.

Es gibt eine imaginäre Zahl i, für die gilt:

i² := -1

LG Willibergi

Antwort
von DietmarDreist, 108

0^0 = 1 =/= 0 Wieso sollte 0^0 gleich 0 sein ? Das stimmt einfach nicht. 

Genau so wenig wie die Addition aller natürlichen Zahlen 1/12 entspricht, sondern Unendlich. 
x/0 ist Unendlich, 0 oder - Unendlich 

Zu deiner eigentlichen Frage habe ich nichts bei zu tragen, ist mir nur so aufgefallen.. ^^

Kommentar von Firas2 ,
Kommentar von Firas2 ,

x/0 - frag mal Siri mehrmals bei irgendeiner Zahl

Kommentar von DietmarDreist ,

Das mit 0^0 stimmt schon, ist halt nicht definierbar, seh ich ein. 

Aber Eine Zahl durch 0 ergibt, wenn sie ungleich Null ist immer + oder - Unendlich. 
Die Null geht in jede beliebige Zahl unendlich oft hinein. 

Kommentar von Willibergi ,

"Aber Eine Zahl durch 0 ergibt, wenn sie ungleich Null ist immer + oder - Unendlich."

Nein, das stimmt einfach nicht.

Unendlich ist keine Zahl.

Obschon der Grenzwert von x/n für n → 0 gegen +∞ bzw. -∞ geht, ist x/0 nicht definiert.

"Die Null geht in jede beliebige Zahl unendlich oft hinein."

Damit würdest du sagen, dass 0*∞ = 0.

Die Gleichung ist aber kompletter Blödsinn, weil Unendlich - wie gesagt - keine Zahl ist.

0*Spülmaschine = ?

Zahlen mit Nicht-Zahlen zu multiplizieren, ist unsinnig.

LG Willibergi

Kommentar von DietmarDreist ,

Ihre Argumentation trägt leider nicht, so ungern ich das sage. 
Natürlich ist Unendlich keine Zahl und ich Maße mir nicht an, die Unendlichkeit abzählen zu wollen. 
Nichts desto trotz gibt es Gleichungen die auf die Unendlichkeit hinaus laufen. 
Ich kann in eine Zahl die 0 integrieren, ohne ihr etwas weg zu nehmen, diese Operation kann ich unendlich oft wiederholen, damit resultiert etwas ewiges, was natürlich keine Zahl sein kann, sondern einfach das Unendliche. 
Das Unendliche, weil wir es nicht verstehen aus unseren Überlegungen heraus zu halten wäre einfach dumm. 

Mir mit einer weiteren Gleichung zur Unendlichkeit (die im Übrigen stimmt, wenn ich 0 mal unendlich viele Chicken Wings habe, dann habe ich keine Chicken Wings) zu begründen, dass man keine Gleichungen mit der Unendlichkeit anstellen soll. 
Aber dann definieren sie doch mal eine unendlich fortlaufende Summe mit etwas anderem als der Unendlichkeit. 

Kommentar von Willibergi ,

"Nichts desto trotz gibt es Gleichungen die auf die Unendlichkeit hinaus laufen."

Grenzwertberechnungen werden oft mit ∞ gleichgesetzt:

lim_(n→∞) n = ∞

Streng mathematisch formal ist aber auch diese Ausdrucksweise falsch.

"Das Unendliche, weil wir es nicht verstehen aus unseren Überlegungen heraus zu halten wäre einfach dumm."

Das tut auch keiner. Aber Unendlich darf nicht als Zahl betrachtet werden, da es keine Zahl ist.

"die im Übrigen stimmt, wenn ich 0 mal unendlich viele Chicken Wings habe, dann habe ich keine Chicken Wings"

0*∞*Chicken Wings = undef., selbiges Problem.

"Aber dann definieren sie doch mal eine unendlich fortlaufende Summe mit etwas anderem als der Unendlichkeit."

DAS wird auch nicht mit der Unendlichkeit als Zahl, sondern mit der Unendlichkeit als Grenze gemacht. Und das ist legitim.

LG Willibergi

Kommentar von kepfIe ,

Eventuell kleine Anmerkung zu dem ganzen Kram hier: In der Maßtheorie werden einige Rechenoperationen mit unendlich definiert (im R mit nem Strich drüber, der dann aber kein Körper mehr ist).  

Ich seh hier aber nirgends irgendwelche Maße, deshalb ist das nur ne Anmerkung und keine Diskussionsgrundlage.

Kommentar von Firas2 ,
Kommentar von DietmarDreist ,

Ohne mich viel mit Stringtheorie beschäftigt zu haben, finde ich diese Lösung zumindest mal Streitbar. 
Wenn wir uns die Zahlenreihe 1 -2 +3 -4 ..... mal anschauen wie in dem Video die Zahlenreihe 1 -1 + 1 - 1..... 
Dann kommen wir darauf, dass das Ergebnis der Summe ein sich steigernder Gegensatz ist. 
1 / -1 / 2 / -2 / 3 / -3 ........ sind die Werte, wenn wir die Reihe an irgend einem Punkt stoppen und das schaukelt sich quasi bis unendlich weiter hoch. 
Nun könnte man ja, wenn man der Argumentation folgt, dass  1 - 1 + 1 -1 .... gleich 1/2 ist behaupten, dass die Reihe 1 - 2 - 3 -4 grade 0 entspricht, weil die Werte sich ja quasi gleichwertig um die 0 herum bewegen. 

Ich will hier gar keine Mathematiker widerlegen, die höchstwahrscheinlich weit mehr davon verstehen als ich aber ich finde dieses Beispiel zeigt ganz gut, dass solche Mathematischen Beweise eben nicht so eindeutig sind, wie sie scheinen. 

Kommentar von Willibergi ,

1-2+3-4+5-6+... = 1/4, ebenso aufgrund der unendlichen Summe.

LG Willibergi

Kommentar von DietmarDreist ,

Das ist keine Argumentation Willi, das ist eine Behauptung. Das bringt uns leider kein Stück weiter. 
Meine Argumentation war auch in der Unendlichkeit der Summe begründet. 

Kommentar von Willibergi ,

Das ist das Ergebnis eines Beweises.

Siehe dazu auch in der englischsprachigen Wikipedia:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/1_%E2%88%92_2_%2B_3_%E2%88%92_4_%2B_%E2%8B%AF

LG Willibergi

Kommentar von DietmarDreist ,

Ich merke sie sind an einer offenen Argumentation nicht interessiert, wenn ich Lösungen brauche gehe ich in die Universitätsbibliothek und nicht auf solche Internetseiten aber danke. ;) 

Ich habe meine Theorie jedoch grade selbst widerlegt, als ich näher darüber nachgedacht habe. 
So entstehen bei meinen Zahlen 1 / -1 / 2 / -2 / 3 / -3 zwei verschiedene Mittelwerte nämlich
0 | 1/2 | 0 | 1/2 ...... woraus sich, bei erneuter Bildung des Mittelwertes aus diesen beiden Werten eben 1/4 ergibt. 

Tut mir leid, wenn ich ihnen gegenüber unhöflich auftrete, ich liebe es nur sehr mich mit meinen eigenen Gedanken einem solchen Thema zu nähern und mich dann mit den Vordenkern zu beschäftigen, quasi in einem Wechselseitigen Prozess. 

Kommentar von Willibergi ,

"wenn ich Lösungen brauche gehe ich in die Universitätsbibliothek und nicht auf solche Internetseiten aber danke."

Das steht dir frei, dort wirst du aber dasselbe Ergebnis finden.

"Ich merke sie sind an einer offenen Argumentation"

Natürlich bin ich das, sonst würde ich wohl kaum mehr als einen Kommentar verfassen.

Mir geht es einfach nur darum, falsche Behauptungen zu berichtigen, da diese sonst niemandem etwas bringen.

LG Willibergi

Antwort
von Schewi, 53

Unlogisch ist da nichts dran.

Kommentar von Firas2 ,

ja aber wenn jemand hört, dass 1+2+3+4+5+6...=-1/12 wird er ohne Erklärung lachen deshalb ""unlogisch""

Kommentar von Schewi ,

Eher für den Laien unverständlich.

Kommentar von Firas2 ,

wer ist Laien

Kommentar von DietmarDreist ,

Ein Laie ist jemand, der nicht vom Fach ist. Also ein Anfänger oder Unerfahrener. 

Kommentar von Firas2 ,

achso

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