Frage von RhoMalV, 50

Was genau sind in der mathematischen Mengenlehre Gruppen, warum heißen sie Gruppen und warum sind die anderen keine Gruppen?

Hallo,

die Frage geht an einen Mathematikfuchs oder eine Mathematikfüchsin.

Habe das mal durchgenommen, aber irgendwie noch nicht so richtig verstanden.

Woran erkenne ich Gruppen und wie unterscheide ich diese von Nicht-Gruppen?

Danke schon mal im voraus!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Schachpapa, 29

Mathematik bedient sich einer Fachsprache. Sie enthält Fachausdrücke

  • die in der Umgangssprache gar nicht vorkommen
  • die nur mehr oder weniger ähnlich verwendet werden
  • die in der Umgangssprache eine andere Bedeutung haben

Diese Fachausdrücke sind klar definiert. Die Definitionen muss man kennen, man kann sie sich meist nicht aus dem Zusammenhang erschließen, weil mathematische Fachsprache kaum Redundanz aufweist, d.h. ein bestimmter Sachverhalt wird genau so und nicht anders beschrieben. Wenn man nur ungefähr weiß, was die Ausdrücke bedeuten oder die Bedeutung aus der Umgangssprache übernimmt, kann das schwer in die Hose gehen. Mit "das meinte ich doch" kann man nur wenige Mathelehrer überzeugen.

Zur eigentlichen Frage:

(Wikipedia:) In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen.

Die ganzen Zahlen mit der Addition sind eine Gruppe:

Verknüpfung bleibt in der Menge: a + b = c ∈ Z
Assoziativgesetz:  ( a + b) + c = a + (b + c)
Neutrales Element: a + 0 = a
Inverse Elemente: -a + a = 0

Die natürlichen Zahlen N mit der Addition sind keine Gruppe, weil es keine inversen Elemente gibt.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 31

Es gibt eine Reihe deutscher Wörter, die in der Mathematik enger gefasst werden und dort etwas ganz Spezielles bedeuten.

Eine "Gruppe" ist eine Ansammlung von Elementen, die insbesondere 4 Eigenschaften hat:

  1. Wenn man zwei Elementen ein drittes zuweist, muss es ebenfalls in der Gruppe enthalten sein.
  2. Die Zuweisung ist assoziativ.
  3. Es gibt ein Einselement (lustigerweise ist hinsichtlich der Addition die Null das Einselement), sodass eine Verknüpfung mit einem anderen Element genau wieder dies Element ergibt.
  4. Es gibt inverse Elemente, sodass die Verknüpfung eines Elements mit seinem Invers genau das Einselement ergibt.

Ist die Gruppe auch noch kommutativ, spricht man von einer kommutativen oder abelschen Gruppe.

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Die ungeraden Zahlen sind hinsichtlich der Addition keine Gruppe, denn die Summe von zwei ungeraden Zahlen ist gerade. Hinsichtlich der Multiplikation sind sie auch keine, weil du Brüche als Inverse brauchst.

Antwort
von gerolsteiner06, 19

1. Was ist eine Gruppe?: siehe Definition im Mathebuch (oder Antwort von Volens)

2. Warum heißen sie Gruppen?: Das ist halt ein Name. Die Mathematiker hätten auch einen beliebigen anderen Namen verwenden können. Deine Eltern hätten Dich auch Robert nennen können, es ist nicht wichtig soetwas zu hinterfragen.

3. Warum sind die anderen kein Gruppen? : "Andere" (was immer Du auch damit meinst) sind keine Gruppe, wenn sie die Definition nicht erfüllen. Das ist die Eigenschaft einer Definition, daß sie genau dieses festlegt.

4. Woran erkenne ich Gruppen und wie unterscheide ich diese von Nicht-Gruppen?: Wie eben gesagt - alles kommt durch die Definition


Antwort
von anjanni, 27

Es gibt eine Definition für den mathematischen Begriff "Gruppe". Die muss einfach anwenden. Fertig.

Zu verstehen ist da nichts - außer vielleicht, wie man die Regeln anwenden muss.

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