Frage von Naydoult, 38

Was genau sagt jetzt der Binomialkoeffizient aus?

Ich benutze gerade die Website: http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Stochastikpdf/wBlatt5.pdf

Auf der Website steht beispielsweise:

"Wenn wir umgekehrt nicht an der Reihenfolge der Autos (oder Tiere) interessiert sind, müssen wir 60 durch 6 dividieren."

Ich verstehe ab da erst mal gar nicht was die da genau haben wollen. Zumindest weiß ich schon mal das reduziert wird, also weniger gemacht wird. Wenn sie jetzt nicht an der Reihenfolge interessiert sind (welche Reihenfolge denn davor?), müsste es nicht mehr werden?

Damit wird ja ebenfalls impliziert, dass (n über k) = (n!/(n-k)!)/k! wäre oder?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 27

Hallo,

einfachstes Beispiel: Lotto.

49 Kugeln, sechs werden gezogen. Hast Du alle sechs auf Deinem Tippschein angekreuzt (und die restlichen 43 nicht), hast Du gewonnen.

In welcher Reihenfolge die Zahlen gezogen wurden, ist dabei egal.

Der Binomialkoeffizient (49 über 6) gibt Dir an, wie viele unterschiedliche Möglichkeiten es gibt, aus 49 Kugeln sechs zu ziehen.

Käme es auch noch auf die Reihenfolge an, müßtest Du diese Zahl mit 6! multiplizieren, weil Du 6 unterscheidbare Kugeln auf 1*2*3*4*5*6=720 Arten vertauschen kannst.

Während also ohne Berücksichtigung der Reihenfolge 49!/(43!*6!) gerechnet wird, was eben dem Binomialkoeffizienten entspricht, wäre es bei Berücksichtigung der Reihenfolge (Du müßtest also zusätzlich erraten, welche Zahl als erste, als zweite usw. gezogen wird) (49!*6!)/(43!*6!)=49!/43!, was entsprechend mehr wäre und Deine Gewinnchance entsprechend kleiner werden ließe.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Naydoult ,

Ich gebe mal das wieder was ich nun verstanden habe.

Beim nicht vollständigen Binomialkoeffizienten beachtet man also die Reihenfolge mit. Wie man das dann rechnet und wieso habe ich verstanden. Beispielsweise mal die Menge {a, b, c} und gesucht sind alle 2-elementige Teilmengen.

{a, b}, {a, c}, {b, c}, {b, a}, {c, a}, {c, b}

Sind 3*2 2-elementigen Teilmengen. Mit Beachtung der Reihenfolge.

Bzw: 3!/(3-2)!

Was es nun genau ist habe ich immer noch nicht verstanden. Jedenfalls weiß ich im Nenner wird 2! dazu multipliziert, was genau 3 zusammen ergibt.

Also jetzt würde es darum gehen, dass die Reihenfolge egal ist. Hauptsache die Zahlen.

{a, b}, {a, c}, {b, c}

Ist korrekt oder? Weil die Reihenfolge ist ja egal. Heißt gültig wäre wohl dann auch:

{b, a}, {c, a}, {c, b}

Jetzt würde ich gerne nur noch wissen wieso die Multiplikation im Nenner so funktioniert?

Antwort
von Schachpapa, 13

Ich machs mal umgekehrt wie willi1729

Die Anzahl der Möglichkeiten bei der Ziehung der Lottozahlen (6 aus 49) kann man wie folgt berechnen:

Für die erste Kugel 49 Möglichkeiten, für die zweite dann noch 48 usw. bis zur 6. Kugel, für die 44 Möglichkeiten verbleiben. Insgesamt also:

49 * 48 * 47 * 46 * 45 * 44

Das ist dasselbe wie 49! / 43! = 49!/(49-6)!

Angenommen, die Ziehung ergab 18, 8, 36, 9, 27, 10

Zuhause habe ich auf meinem Schein die Kreuzchen in der Reihenfolge der Geburtsdaten von mir selbst, meiner Frau und meinen Kindern gemacht, also

9, 27, 8, 10, weil noch zwei Kreuzchen fehlen, nehme ich die Summe der Eltern und der Kinder, mein Tipp also: 9, 27, 8, 10, 36, 18

Bei der Ziehung werden die Zahlen anschließend in der Reihenfolge vorgelesen: 8,9,10,18,27,36

Auch auf meinem Schein ist die Reihenfolge des Ankreuzens nicht mehr erkennbar, es ist ebenfalls 8,9,10,18,27,36

Auch alle anderen 6! verschiedenen Reihenfolgen der sechs Ziffern (z.B. 36,27,18,10,9,8 oder 9,8,18,10,36,27) sind gleich zu behandeln, das heißt die 49! / 43! verschiedenen Ziehungen (mit Berücksichtigung der Reihenfolge) lassen sich in Gruppen zu 6! zusammenfassen, die alle gleichwertig sind.

Also gibt es 49! / (6! 43!) verschiedene Möglichkeiten, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt. Dann kann ich eine beliebige Reihenfolge, z.B. aufsteigend sortiert, als Repräsentanten nehmen.

Für diese Formel gibt es die Abkürzung

 49
(    )
  6

(die auch noch an anderen Stellen in der Mathematik auftaucht)

Kommentar von Naydoult ,

Okay, jetzt endlich verstanden. :) Vielen Dank!

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