Frage von SammyIII, 38

Was genau besagt der Fundamentalsatz der Algebra?

Ich verstehe den Fundamentalsatz der Algebra nicht ganz. Der Satz besagt ja, dass alle nicht konstanten Polynome aus den Komplexen Zahlen mindestens eine Nullstelle haben. Das macht für mich noch Sinn.

Doch der Satz besagt auch, dass alle normierten Polynome (n>1) in Linearfaktoren zerfallen. Was genau bedeutet das und wie soll ich mir das vorstellen?!

Antwort
von iokii, 26

Er besagt sogar, dass alle Polynome in Linearfaktoren zerfallen, denn wenn ein Polynom in a eine Nullstelle hat, dann kannst du (x-a) ausklammern. Das was übrig bleibt ist entweder auch ein Linearfaktor (also von der Form (x-b)) oder es ist ein Polynom, welches dann wieder eine Nullstelle haben muss, die du ausklammern kannst.

Ein in Linearfaktoren zerfallenes Polynom sieht in etwa so aus : f(x)=(x-a_1) * (x-a_2) * (x-a_3) ... .

Kommentar von iokii ,

Wobei, wenn das Polynom nicht normiert ist, kommt bei der Linearfaktorzerlegung noch eine Zahl b hinzu, also 

 f(x)=b * (x-a_1) * (x-a_2) * (x-a_3);

Bei normierten Polynomen ist b=1, also kann man das weglassen.

Antwort
von UlrichNagel, 20

Etwas hochtrabend als "Fundamentalsatz"! Ich beziehe zum bildhaften Verständnis die ganze Funktionslehre auf die Zahl, denn die ist eine konstante Funktion!

325 = 3 *10² + 2 *10^1 + 5 *10^0 als Polynom oder

325 = 5 * 5 * 13 als "Linearfaktoren" (Primfaktoren), weil sie auf der x-Achse (Zahlengeraden) liegen.

Das sind die 2 ausgeschriebenen Grundschreibformen einer Funktion ausser der Matrix (Schablone) Zahl!

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