Was für ein Bildungsgesetz (a_n index ) wäre für diese Zahlenfolgen?

... komplette Frage anzeigen

2 Antworten

(Index mit Unterstrich angehängt)

b): Rekursives Bildungsgesetz:   a_1 = 1; a_(n+1) = 1/10 a_n

Man sieht leicht, dass hieraus folgt:   a_n = (1/10)^(n-1)

e): Rekursives Bildungsgesetz z. B.:   a_1 = 3; a_(n+1) = 10 * a_n + 3

Es gibt viele Verfahren, so etwas zu berechnen, auch sehr systematische.

Aber ich wende hier mal eins an, das auf "Erraten" beruht.

Ohne das "+ 3" am Ende könnte man das Bildungsgesetz sofort hinschreiben.

Also versuchen wir mal, diesen Summanden wegzukriegen.

Schauen wir uns eine andere Folge an, die aus {a_n}_(n∈ℕ) durch eine konstante Verschiebung hervorgeht:

b_n = a_n + f

a_n = b_n - f

a_(n+1) = 10 * a_n + 3

wird dann zu

b_(n+1) - f = 10 * (b_n - f) + 3

b_(n+1) - f = 10 * b_n - 10 * f + 3

b_(n+1) = 10 * b_n - 9 f + 3

Der Summand verschwindet genau für f = 1/3

Dann ist

b_(n+t) = 10 * b_n

Für das vollständige rekursive Bildungesetz brauchen wir noch b_1:

b_1 = a_1 + f = a_1 + 1/3 = 3 + 1/3 = 10/3

Damit ist offensichtlich

b_n = 10^n / 3

und damit

a_n = 10^n / 3 - 1/3 = (10^n - 1) / 3

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von PWolff
07.09.2016, 20:37

Man kann auch ein anderes rekursives Bildungsgesetz ansetzen:

a_1 = 3; a_(n+1) = a_n + 3 * 10^n

Hier haben wir so etwas wie eine "geometrische Reihe".

Wenn wir die Differenzen der Folgeglieder betrachten und diese sowie die Indizes geeignet transformieren, bekommen wir eine geometrische Folge

b_n = q^n

und

s_n = q + q^2 + ... + q^n

Nach der allgemeinen Formel für die geometrische Reihe ist

s_n = (q^(n+1) - 1) / (q-1)

Das müssen wir dann noch rücktransformieren.

Wenn wir richtig gerechnet haben, kommt für a_n eine äquivalente Formel wie oben raus.

0

b) an = 10^(1-n)

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von pll4eva
07.09.2016, 18:27

Und e?

0