Frage von maxim008, 67

Was ergibt z³ = 1?

Hallo,

ich bin grade bei einer Aufgabe, mit der ich momentan nichts anfangen kann.

Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen in C. Geben Sie Ihre Lösungen in Polar- und in Normalform an!

z³ = 1

Problem ist, dass ich jetzt nicht weiß, was C überhaupt bedeutet und wie ich die Gleichung dann berechnen soll. Ich könnte jetzt natürlich die dritte Wurzel ziehen und hätte dann wieder 1:

z³ = 1 | 3√

z = 1

Aber ich denke mal, dass das ziemlich falsch ist. Würde mir bitte jemand weiterhelfen?

Antwort
von Roach5, 40

Wie du wahrscheinlich weißt, gibt es ein alternatives Koordinatensystem in den komplexen Koordinaten, nämlich die Polarkoordinaten, die einer komplexen Zahl den Betrag (Abstand von Ursprung) und Argument (Winkel von der reellen Achse gegen den Uhrzeigersinn) geben. Der Betrag ist eindeutig, das Argument ist eindeutig modulo 2π. Durch die Eulerformel wissen wir, dass das ganze so aussieht: z = r e^(iφ), wobei r der Betrag ist und φ ein Argument.

Wir setzen ein und bekommen:

z³ = 1

(r e^(iφ))³ = 1

r³ e^(i 3φ) = 1. 1 können wir jetzt aber auch so schreiben, also:

r³ e^(i 3φ) = 1 e^(i 0).

Das Prinzip des Koeffizientenvergleichs sagt uns: Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn sie den gleichen Betrag haben und das gleiche Argument modulo 2π. Bemerke, dass zwei Zahlen a und b kongruent modulo x sind, wenn a - b ein ganzzahliges Vielfaches von x ist.

Es muss also gelten:

r³ = 1 -> r = 1, 

und:

3φ - 0 = 2π k [für eine ganze Zahl k],

φ = 2/3 π k [für eine ganze Zahl k].

Wir müssen k nicht über 2 steigen lassen, da sich dann alles wiederholt, also sind bereits die ersten drei Lösungen (k = 0, 1, 2) alle Lösungen, also:

z = 1 oder z = e^(i 2/3π) oder z = e^(i 4/3 π). Diese Zahlen bei Bedarf umwandeln kannst du sicher selbst.

LG

Antwort
von lks72, 40

C sind die komplexen Zahlen, es gibt drei Lösungen:
e^(2πi), e^(2/3πi) und e^(4/3πi)

Kommentar von maxim008 ,

Das ist doch die Eulersche Darstellung. Aber es soll doch in Polar- und Normalform angeben werden.

Kommentar von lks72 ,

Die anderen Formen kann man doch direkt ablesen, cos(2/3π) + i • sin(2/3π) usw

Antwort
von kepfIe, 35

Stichwort Einheitswurzeln. Google das mal.  

z1 = -0.5 + 0.5 * sqrt(3) * i  

z2 = -0.5 - 0.5 * sqrt(3) * i

z3 = 1

Antwort
von Doneofficial, 57

wenn du die Wurzel ziehst darfst du als zweite Lösung aber -1 nicht vergessen

Kommentar von Tobias281 ,

Neeeeeeiiiiin ... das ist eine kubische Gleichung (dritten Grades) nur bei quadratischen Gleichungen (oder mit geraden Zahlen als Exponenten) 2 Lösungen. (-1)^3 wäre -1

Kommentar von bluberryMuffin ,

-1 x -1 x -1 = -1 x 1 = -1 daher ist die einzige mögliche Lösung hier 1

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