Frage von Qochata, 141

was ergibt unendlich^unendlich?

eventuelll unendlich^unendlich = Unendlich 1?....Cantor meinte 2^unendlich = Unendlich 1 bzw. 2^aleph null = Aleph 1 (unbewiesen)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von kreisfoermig, 68

Zuerst: 2^alef₀ = alef₁ ist (relativ zu ZFC) weder gültig noch ungültig. Zweitens in Mengenlehrer gibt es viele (üblicherweise unendlich viele und noch üblicherweise unbeschränkt viele) unendliche Kardinalitäten (Kardinalzahlen).

Seien κ, λ unendliche Kardinalzahlen. Was κ^λ ist? Da ist viel möglich es kann

  • κ^λ > Max{κ,λ} sein, z. B. wenn 2 ≤ κ < 2^λ, da dann 2^λ ≤ κ^λ ≤ 2^(λ·λ) = 2^Max{λ,λ} = 2^λ, also κ^λ = 2^λ > Max{κ,λ}.
  • κ^λ = κ sein, z. B. κ=μ^т, wobei т≥λ, da dann κ^λ = μ^(т·λ) = μ^Max{т,λ} = μ^т = κ; z. B. κ = 2^alef₀ und λ=alef₀.

Im Allgemeinen gilt laut des verallgemeinerten Satzes von Cantor:

2^|X| = |Fn(X,2)| = |Pot(X)| > |X|

für alle Mengen X.

Kommentar von kreisfoermig ,

* Mengenlehre ; )

Kommentar von Qochata ,

wieviele rationale abzählbare zahlen gibt es? unendlich viele, nicht wahr? wieviele irrationale, transzendente zahlen gibt es? genauso viele wie rationale zahlen oder mehr? garantiert mehr! wieviel aber mehr? auf der zahlengerade von z.b. 0 - 10 befinden sich unendlich viele rationale zahlen. wie viele irrationale zahlen befinden sich auf dieser zahlengerade? unendlich viele mehr natürlich. nur unendlich * unendlich = unendlich = unendlich + unendlich. was jetzt? innerhalb unendlich vielen rationalen zahlen tummeln sich unendlich^unendlich viele irrationale zahlen, und das innerhalb jeder beliebigen zahlengerade ( 0 - 0,5......0 - 1....0  - 10....0  - 100 ect.) Wieviele mehr sonst?

Kommentar von kreisfoermig ,

bin leider gerade beschäftigt, werde später darauf antworten in Detail.

Kommentar von kreisfoermig ,

Wie viele rationale […] zahlen gibt es?
Unendlich viele, nicht wahr?

Richtig. Und zwar gilt |ℚ| = |ℕ| = ℵ₀. 

Wie viele irrationale, transzendente Zahlen gibt es? Genauso viele wie rationale Zahlen oder mehr? Garantiert mehr!

Richtig, und zwar gilt

|ℝ\ℚ|=|ℝ\ℚªˡ|=|ℝ| > |ℚ|,

da

|X|=|X\A ∪ A| = Max{|X\A|, |A|} = |X\A|,

für alle Mengen A⊆X, solange |A|<|X| und X unendlich und

|ℚªˡ|=|ℚ|=ℵ₀ und |ℝ|=|Pot(ℕ)|=2^|ℕ| = 2^ℵ₀ > ℵ₀.

Aber wie viel mehr?

Für Mengen A ⊆ X mit X unendlich und |A|<|X|, willst du ja quasi |X|–|A| berechnen. Genauer gesagt, suchst du nach einer Kardinalzahl, µ, mit |X| = µ+|A|.

Kardinalarithmetisch definiert man µ+κ := |B ∪ C| für B, C disjunkt mit |B|=µ und |C|=κ. Es stellt sich heraus, dass dies wohldefiniert ist und dass µ+κ = Max{µ, κ}, wenn mindestens eine dieser Kardinalzahlen unendlich ist.

Falls µ und |A| endlich wären, so wäre die Summe µ+|A| (=|X|) endlich. Widerspruch! Darum ist mindestens eine der Kardinalzahlen unendlich. Also gilt |X| = Max{µ,|A|} = µ oder |A|. Da aber |A|<|X|, gilt |X|=µ.

Darum gilt |X|–|A| = |X| für X unendlich und A⊆X mit |A|<|X|. Dies ist auch der Fall für Mengen ohne das Inklusionsverhältnis, solange |A|<|X|.

Folgerung. Es gilt

|trans. Zahlen|–|ℚ| = |trans. Zahlen| = 2^ℵ₀
und
|irr. Zahlen|–|ℚ| = |irr. Zahlen| = 2^ℵ₀

Auf der Zahlengeraden von z. B. 0 – 10 befinden sich unendlich viele rationale Zahlen. Wie viele irrationale zahlen befinden sich auf dieser Zahlengerade? Unendlich viele mehr natürlich.

Richtig. Richtig. Richtig. Es gilt |(0, 10)|=|ℝ| > |ℚ| = |(0, 10)∩ℚ|.

Nur unendlich · unendlich = unendlich = unendlich + unendlich.

Kommt drauf an, was du genau unter „unendlich“ verstehst.

Was jetzt? Innerhalb [zwischen?] unendlich vielen [paaren von nebeneinander stehenden?] rationalen Zahlen tummeln sich unendlich^unendlich viele irrationale zahlen, und das innerhalb jeder beliebigen zahlengerade (0 – 0,5......0 – 1....0 – 10....0  – 100 etc.)

Worauf willst du damit hinaus? Dies ist ja gar nicht problematisch.

Wie viele mehr sonst?

Was meinst du? Ich verstehe den Zweck deines Textes nicht. Willst du auf einen Widerspruch hinaus? Es gibt keinen, wenn man ordentlich mit klaren Begriffen und Definitionen arbeiten. Willst du zeigen, dass dies dem „gesunden Menschenverstand“ widerspreche? Das taugt nicht.

Kommentar von Qochata ,

Mit Mathematik. habe ich recht wenig am Hut. Nur  die K-Hypothese beschäftigt mich schon seit Jahren hin und wieder. Nochmals kurz zu meiner Frage: Es gibt rationale und irrationale Zahlen. Von beiden gibt es eine unendliche Menge, wobei die unendliche Menge der irrationalen Zahlen größer als die der rationalen Zahlen sein muss. Um wieviel aber größer? um das 2fache unendliche, also 2* unendlich? Nein! Da 2*unendlich= unendlich! Oder um unendlich* unendlich größer? Auch wieder nicht! Da unendlich* unendlich= unendlich. Wie also kommt man vom kleinsten  unendlichen Bereich (aleph null) auf den nächstgrößeren Bereich Unendlich 1 (Aleph 1)? Darum geht es ja in der Kontinuum-Hypothese. Cantor meine 2^unendlich= Unendlich 1  bzw. 2^aleph null= Aleph 1...Also gäbe es nach Cantor 2^unendlich mehr irrationale Zahlen als rationale Zahlen. Stimmts? Ob es stimmt, kann leider nicht mit den herkömmlichen mathemat. Methoden ermittelt werden, weil Cantors Kontinuum-Hypothese nicht bewiesen werden kann, ihr Gegenteil auch nicht. Wie ich auf unendlich ^ unendlich = Unendlich 1 komme, davon später. In diesem Zusammenhang noch eine andere Frage: Was ergibt 0 + 0 + 0...ad infinitum? Meine Berechnung zufolge =  N! (Diese meine Frage steht bei Mathe Lounge...googeln!)

Kommentar von Qochata ,

Warum 2^aleph null nicht Aleph 1 sein kann (Versuch)

2^3 = 8

2^-3 = 1/8 = 0,125

2^-unendlich = 1/unendlich = 1/2^unendlich = 0

2^unendlich = 1/0 = unendlich = aleph null = 2*2*2..ad infint. = c

Folglich: 2^aleph null = aleph null

Bleibt nur noch die Möglichkeit: aleph null^aleph null = Aleph 1

ferner : Aleph 1^aleph null = Aleph 2... Aleph 2^aleph null = Aleph 3...ect

p.s. c = Kardinalzahl des Kontinuums (aleph null = c)

Kommentar von kreisfoermig ,

Ich empfehle dir das Buch An introduction to independence proofs (K. Kunen; 1980–1992; North-Holland / Elsevier). Auch dürfte dir Set Theory 3. Millenium ed. (T. Jech; 1997–2006; Springer) helfen. Ich gehe deine anderen Punkt in einem anderen Beitrag ein.

Kommentar von kreisfoermig ,

DEIN KERNFEHLER

Du verwechselt den Rahmen und somit weist die logische Täuschung auf: zweideutigen Gebrauch von Begriffen. Technisches Problem, das der Zweideutigkeit zugrunde liegt: in Kardinalarithmetik ist

Limes von partiellen Produkten = Gesamtprodukt

nicht gültig. Eine detaillierte Behandlung und Erklärung folgt.

ZITAT FÜR ZITAT

P.S. c = Kardinalzahl des Kontinuums (aleph null = c)

Nein. 𝔠 ≠ alef₀, denn 𝔠 = 2^ℵ₀ und 2^µ > µ für alle Kardinalzahlen. Im Grunde wissen wir (anhand der Standardaxiome der Mengenlehre) nicht, welches Alef die Kardinalzahl das Kontinuum 𝔠 ist, nur dass es eine (ziemlich große) unendliche Kardinalzahl ist.

Warum 2^aleph null nicht Aleph 1 sein kann (Versuch)

Vorweg. Dies kannst du niemals mathematisch beweisen. Mathematische Untersuchung liefert, dass es „möglich“ ist, dass 𝔠 praktisch jede* Kardinalität sein kann. Was heißt hier „möglich“? Es heißt genauer, dass für praktisch jede* Kardinalzahl, µ, ein Mengenuniversum U existiert, in dem gilt U ⊨ „𝔠=µ“. Insbesondere kann man mithilfe der mathematischer Logik und Stadardaxiome kein genaueres Wissen über die Größe von 𝔠 ableiten kann.

Wie geht man denn sonst vor? Man kann höchstens metaphysisch/philosophisch dafür argumentieren, dass 2^ℵ₀ ≠ ℵ₁ als Axiom angenommen werden soll. Dafür kann man sich zwar  mathematische Berechnungen zu Hilfe nehmen, muss jedoch an einer kritischen Stelle andersartiges nicht mathematisches Wissen mit einbeziehen.

Fußnote.

* genauer: jede bis auf Kardinalzahlen, µ, die eine sehr triviale Eigenschaft aufweisen, nämlich wenn µ ist gleich dem Supremum einer abzählbaren Folge (µ₀, µ₁, µ₂, …) von streng kleineren Kardinalzahlen. (Für einen Beweis siehe z. B. die Anmerkung nach 5.14 in Kunen auf Seite 209.)

2^3 = 8; 2^-3 = 1/8 = 0,125; 2^-unendlich = 1/unendlich = 1/2^unendlich = 0

Jetzt rechnest du nicht mehr mit Objekte der Art „Kardinalzahlen“, sondern mit Objekt in der geometrisch–algebraischen Struktur ℝ. Das ∞ hier ist nicht vergleichbar mit einer Kardinalzahl. Somit ist dein nächster Schluss

2^unendlich = 1/0 = unendlich = aleph null

ungültig. Nun argumentierst du weiter:

 = 2*2*2..ad infint. = c.

Ich sehe zwar den Trick, leider ist der nicht gültig, denn du wechselt plötzlich den Raum in dem du arbeitest und die Objekt, mit denen du berechnest. Somit ist deine Schlussfolgerung

Folglich: 2^aleph null = aleph null

ungültig.

GRÜNDE DER UNGÜLTIGKEIT DES ARGUMENTS

In [-∞; ∞] := ℝ∪{-∞,+∞} gelten

2^∞ = ℓim 2^x für x∈ℝ mit x → +∞
= ∞
2·2·2·… = ℓim 2·2·…·2 n-Mal für n∈ℕ mit n → ∞
= ℓim 2ⁿ für n∈ℕ mit n → ∞
= 2^∞ = ∞

Es gibt nur das eine Objekt, ∞ un sonst nichts. Somit hast du zwar Recht, dass 2^∞ = ∞, … aber hierbei ist 2^∞ NICHT c, welches die Kardinalität von ℝ darstellt, du du hast es hier mit geometrischen und nicht mit kombinatorischen Objekten zu tun.

In Kardinalarithmetik hast du einen völlig anderen Raum/Rahmen (Card) als [-∞; ∞] und völlig andere Definitionen von den Operationen, u. a. von unendlichen Produkten, als in [-∞; ∞]. Diese werden im Gegensatz zu der Struktur [-∞; ∞] nicht durch endliche Produkte angenähert, sondern werden quasi durch sofortige Instanzen berechnet. In [-∞; ∞]:

∏x_k := ℓim x_0·x_1·…·x_n für n → ∞

solange der Grenzwert existiert. In Card aber:

∏µ_k := |∏A_k|

wobei A_k eine Menge ist mit |A_k| = µ_k für alle k und ∏A_k das kartesische Produkt bedeutet:—die Menge alle Folgen (x_k) mit x_k ∈ A_k für alle k. Es stellt sich (aus offensichtlichen Gründen) heraus, dass diese Definition von der Wahl der Mengen unabhängig ist, sodass wir es mit einer ordentlichen (wohldefinierten) Definition zu tun haben. Insbesondere gilt in Card:

2·2·… = |{0,1} x {0,1} x … |.

Man kann leicht sehen, dass {0,1} x {0,1} x … = Fn(ℕ, {0,1}), die Menge aller (abzählbaren) 0-1 Folgen. Es ist leicht, eine Bijektion zwischen Fn(ℕ, {0,1}) und Pot(ℕ) zu finden, somit gilt

2·2·… = |{0,1} x {0,1} x … |
= |Fn(ℕ,{0,1})|
= |Pot(ℕ)|
> |ℕ| (2. Cantor'sches δ-Argument)
= ℵ₀.

Dies ist die richtige Schlussfolgerung.

DEINE ANMERKUNG.

Bleibt nur noch die Möglichkeit: aleph null ^ aleph null = Aleph 1
ferner Aleph 1 ^ aleph null = Aleph 2... Aleph 2^aleph null = Aleph 3... etc.

Ich sehe, wie dies gelten würde, wenn du statt ℵ₁ eher 𝔠 schreibst und dich auf deine vorige Schlussfolgerung beziehst. Dies alles wäre zwar falsch, aber mindestens hättest du gültig argumentiert.

In deiner AnaIysis kommt jedoch keine Behandlung von den anderen Alefs vor. Deine letzten Schlüsse, auch wenn man dir die anderen Schlussfolgerungen gesteht, sollten dich wirklich zum denken bringen:

alef_(n+1) ist per Definition die nächst kleinste Kardinalzahl µ mit µ>alef_n. Per Konstruktion gilt also alef_(n+1) ≠ alef_n für alle n.

Kommentar von kreisfoermig ,

Was ergibt 0 + 0 + 0... ad infinitum? Meine Berechnung zufolge = N! (Diese meine Frage steht bei Mathe Lounge...googeln!)

Kommt auf den Rahmen an. In ℝ (und jeder geometrisch-algebraischen Struktur) ist die Antwort-,

0 + 0 + 0… := ℓim 0+0+…+0 n-Mal = ℓim 0 = 0.

In Card ist die Antwort:

0 + 0 + 0… := |⋃ A_k|
wobei (A_k) paarweise disj.
mit |A_k|=0 für alle k
also A_k = Ø für alle k
also ⋃A_k = Ø
= |Ø| = 0.

Wenn der Rahmen ein W-keisraum ist und jede 0 für eine 0-Menge steht und + für Vereinigung, und das zugrunde liegend Maß nicht σ-additiv ist, dann gilt evtl. 0 + 0 + 0… = alles Mögliche. Z. B.

Betrachte (ℕ, ℙ), wobei ℙ ein additives Maß ℙ : Pot(ℕ)→[0, 1] ist, mit ℙ({n}) = 0 für alle n (genannt atomfrei), so gilt zwar {n} ≣ Ø für alle n∈ℕ aber ∑ {n} = ℕ und ℙ(ℕ)=1≠0. Also ∑0 ≠ 0.

Kommentar von kreisfoermig ,

Im letzten Beispiel betrachtet man genauer gesagt den Raum Pot(ℕ)/≣, wobei ≣ die Äquivalenz ist A≣B gdw. ℙ(A∆B)=0. Man definiere 0:=[Ø] und 1:=[ℕ] und

∑ [A_k] := [⋃A_k],

solange dies wohldefiniert ist. Wir sehen, dass die abzählbar unendliche Summe ∑0 nicht wohldefiniert ist, denn es gilt z. B. unter Wahl von A_k := {k} zwar [A_k] = 0 für alle k, da ℙ[A_k ∆ Ø] = ℙ[A_k] = ℙ[{k}] = 0, aber

∑0 = ∑[A_k] = [⋃A_k] = [ℕ] = 1 und
∑0 = ∑[Ø] = [⋃Ø] = [Ø] = 0.

Darum ist hier ∑0 nicht wohldefiniert, da sie u. a. gleich 0 und 1 sein kann.

Kommentar von Qochata ,

Bezüglich 0 + 0 + 0.... stellte ich mir folgende Frage: Ist die Menge/Größe/Zahl 0 absolut nichts oder beinhaltet sie doch ein sehr sehr kleines, ein unendlich kleines, nicht nachweisbares Element? Also unendlich klein = 0 = 1/unendlich = n-beliebig/unendlich? Wenn ja, dann 1/unendlich + 1/unendlich + 1/unendlich ....ad infinit. = N (Endergebnis  ungleich1, da sich die Addition der Menge 1 beliebig fortsetzt, aber nicht gegen Unendlich strebt.....1 + 1 + 1........= N)...Das kommt davon, wenn man sich als Laie mit ungelösten Rätsel der Mathematik, insbesondere mit der KH beschäftigt ohne ausreichendes Grundlagen Wissen.  Was aber soll man machen, wenn es einem Spaß macht und man unter Umständen nicht mehr davon loskommt? ...Vielen Dank für deine Antworten!

Kommentar von kreisfoermig ,

Was aber soll man machen, wenn es einem Spaß macht und man unter Umständen nicht mehr davon loskommt? ...Vielen Dank für deine Antworten!

Gern geschehen! Ich applaudiere deine Haltung und Begeisterung für dieses Feld! Es ist sicher kein einfaches, aber macht eine Menge Spaß ; ) Ich beschäftige mich auch als Laie mit Wissensbereichen, bei denen ich keine/bescheidene Grundkenntnisse habe, wie den Neurowissenschaften, der Wirtschaft, der Theologie, Psychologie, usw. Ich kann diese nur aus Sicht eines Mathematikers/Logikers begreifen, aber mir macht es Spaß und ich halte es für wichtig.

Kommentar von kreisfoermig ,

ich wollte darauf was sagen, aber konnte die Stelle nicht finden. Jetzt habe ichs wieder gefunden. Hier redest du (glaube ich zumindest) von formalen Reihen der Form

∑ xᵏ(t) über k∈ℕ

wobei xᵏ(t) in [0,∞) mit xᵏ(t) → 0 für t → ∞ (oder so). Natürlich gilt dann trivialerweise

ℓim_n ℓim_t (∑ xᵏ(t) über k von 0 bis n–1)
= ℓim_n ∑ (ℓim_t xᵏ(t)) über k von 0 bis n–1
= ℓim_n ∑ 0 über k von 0 bis n–1
= ℓim_n 0
= 0

Aber es stellt sich die Frage, ob 

ℓim_t ℓim_n (∑ xᵏ(t) über k=0...n–1) = 0

Die Antwort lautet „unabhängig“. Bezeichne mit ƒ(n,t) die partielle Summe ∑ xᵏ(t) über k von 0 bis n–1. Dann gilt ƒ(n,t) → 0 für t→∞ und für all fixierten n. Aber das stellt nicht sicher, dass ℓim_t ℓim_n ƒ(n,t) = 0. In der Tat ist jeder Wert möglich:

Der Wert ∞ ist möglich. Setze xᵏ(t) := exp(-t)/(k+1) für alle k, t.. Dann sind die Voraussetzungen erfüllt (xᵏ(t) → 0 für t → ∞) aber ƒ(n,t) = H(n)·exp(-t) und darum ℓim_n ƒ(n,t) = (ℓim_n H(n))·exp(-t) = ∞ für alle t. Darum gilt ℓim_t ℓim_n ƒ(n,t) = ℓim_t ∞ = ∞.

Jeder Wert r∈[0,∞) ist möglich. Setze xᵏ(t) := r·(1/t)ᵏ/k! für alle k, t. Dann sind die Voraussetzungen erfüllt (xᵏ(t) → 0 für t → ∞). Es gilt ℓim_n (∑ xᵏ(t) über k=0...n–1) = ∑ r·(1/t)ᵏ/k! über k=0 bis ∞ =r·exp(1/t). Darum gilt  ℓim_t ℓim_n ƒ(n,t) = ℓim_t  r·exp(1/t) = r·exp(0) = r·1 = r.

QED.

Man kann natürliche Bedingungen finden, unter denen sich die Limes tauschen lassen. I. d. R. werden diese durch tiefe Theoreme bewiesen. Das kann man nachschlagen.

Aber solange die Limes sich nicht tauschen lassen gilt

∑0 über k von 0 bis ∞  =  0

nicht mehr, sondern kann alles Mögliche sein. Beachte dabei das Versagen unter beiden Konzepten (durch Limes und durch sofortige Definition wie im Falle der Wahrscheinlichkeits-Definition).

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 76

Unendlich ist keine Zahl, dementsprechend sind solche Rechenoperationen nicht möglich.

Der Grenzwert von nⁿ für n→∞ geht aber ebenfalls gegen ∞.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, nur her damit! :) 

LG Willibergi

Kommentar von Qochata ,

pi ist auch eine zahl...ihre nachkommastelle geht  ins unendliche. mit dieser zahl wird auch gerechnet. natürlich kennt man die letzte nachkommastelle nicht, das heißt aber noch lange nicht, dass es keine gibt. was man nicht kennt, kann  durchaus trotzdem existieren. bekanntlich ist pi eine transzendent-irrationale zahl. wo endet sie also: im kleinsten unendlichkeitsbereich namens unendlich bzw. aleph null oder im 2.ten unendlichkeitsbereich namens unendlich 1 = aleph 1? Ist hierfür nicht eine völlig neue, eine transfinite arithmetik erforderlich, um das rätsel pi oder auch e zu lösen? mit der herkömmlichen arithmetik und mengenlehre geht das natürlich nicht.

Kommentar von Willibergi ,

Pi ist eine Zahl und zwar eine irrationale Zahl. Sie ist Teil der reellen Zahlen. Unendlich ist jedoch gar keine Zahl und Element keiner Zahlenmenge. 

LG Willibergi

Kommentar von Qochata ,

reell hin, reell her: ihre nachkommastelle geht gegen unendlich. solange ihre letzte nachkommastelle nicht definiert wird, solange bleiben berechnungen mit ihr unpräzise. was ergibt pi^2 oder gar pi^pi ?

Kommentar von Willibergi ,

Es geht nicht um Genauigkeit, sondern um Formalismus.

Obschon π^π eine irrationale Zahl ist und somit in der Dezimaldarstellung nicht genau dargestellt werden kann, ist es trotzdem eine Zahl. Bei ∞ ist das aber nicht der Fall.

solange ihre letzte nachkommastelle nicht definiert wird

π hat keine letzte Nachkommastelle. Jede Nachkommastelle ist eindeutig definiert.

LG Willibergi

Kommentar von Qochata ,

hat pi keine letzte nachkommastelle oder kann man diese mit den herkömmlichen mathemat. Methoden nur nicht finden bzw. definieren? bekanntlich gibt es nicht nur eine unendlichkeit.  in welcher endet die nachkommastelle pi?

Kommentar von kreisfoermig ,

Es gibt keine letzte Nachkommastelle. Das nächst Beste, was man für ein Konzept untersuchen kann ist unendliches Verhalten: z. B. wie sieht die Verteilung der Ziffern aus in der Grenze? (Wie man daraus Sinn macht ist einfach, aber schon ein anderes anspruchsvolles Thema.)

Kommentar von kreisfoermig ,

Unendlich ist keine Zahl,

Nein. „Unendlich“ (oder lieber: jedes unendliche mathematische Objekt) ist keine natürliche / reelle / komplexe Zahl.

dementsprechend sind solche Rechenoperationen nicht möglich.

ich bestreite das „dementsprechend“ (ungültiger Schluss) sowie die Aussage an sich. Solche Operation sind (unter sehr natürlichen Rahmen sogar) sinnvoll und wohldefinierbar. Du hast die ganze Revolution in der Mathematik verpasst, dass mit Cantor anfing ; )

Kommentar von Qochata ,

"Die Versuche, die Kontinuum-Hypothese zu beweisen, zeigen also nach Ansicht von Goedel in Wirklichkeit, dass die Mengenlehre bessere Grund Axiome benötigt, als sie im klassischen ZFS enthalten sind, oder sie wird dieses zumindest um einige Postulate ergänzen müssen, die - wie das Auswahl Axiom -  sowohl "selbstverständlich" als auch konsistent mit dem klassischen Axiomen sind...Die Mathematik steckt noch immer in den Kinderschuhen." (Die Entdeckung des Unendlichen...Georg Cantor und die Welt der Mathematik, Autor: David Foster Wallce)

Kommentar von kreisfoermig ,

Ich stimme den von dir zitierten Meinungen mehr oder weniger zu. Nichtsdestotrotz verstehe ich nicht, worauf du damit hinaus willst. Meine Reaktion hier war auf [Willibergi]s Kommentar, dass diese Dinge nicht möglich seien. Nicht nur sind sie nicht unmöglich, sie sind auch sogar sinnvoll definierbar.

Dass wir auf ein vollständiges Bild des Mengenuniversums bes. hinsichtlich der Fragen, wie groß bestimmte Mengen sind, wurde von mir nie behauptet. Ich bestritt nur die Haltung, dass man erst gar nicht diese Sachen sinnvoll untersuchen könne.

Hinsichtlich Axiome: das ist auf jeden Fall immer ein aufregendes Thema gewesen. Viele der Axiome galten einst als Kontrovers (bes. das Potenzmenge-Axiom!) Es gibt schöne philosophische Diskussionen darüber. Man bediene sich hierfür einer Mischung aus Metaphysik und Mathematik (der normalen sowie der der Mengenlehre), um Standpunkte/Stellungnahmen zu rechtfertigen.

Übrigens, kann ich dir noch einen Text empfehlen. Es ist von Shelah, der als größter Logiker am Leben gilt https://arxiv.org/pdf/math/0211398.pdf ; )

Kommentar von Qochata ,

Das Dumme ist blos, dass diese mathem. Revolution kaum fortschreitet, geschweige denn ein Ende findet.  Wer kümmert sich noch darum?

Kommentar von Qochata ,

p.s. ich habe schon verstanden, dass dein oben genannter beitrag  an williberg gerichtet war.

Kommentar von Qochata ,

p.s: wie viele irrationale zahlen gibt es denn jetzt?

Kommentar von Qochata ,

...und: wie lautet die erste und die letzte irrationale zahl auf der zahlengerade von  0----------1 ?

Kommentar von Qochata ,

Der Blick auf diese Zahlengerade zeigt zwei harmlose Zahlen, die 0 und die 1 -  dazwischen  aber ist die Hölle los. Nicht genug damit, dass sich darin unendlich viele (aleph null viele) abzählbare rationale Zahlen befinden, nein: zu jeder einzelnen rationalen zahl kommen noch weitere unendlich viele (Alpeh 1 viele) irrationale Zahlen hinzu. Im  Verhältnis also ausgedrückt 1 : unendlich. Hieße das zusammengefasst  1: unendlich = aleph null : Aleph 1 = R : I ?

(R = Menge der rationalen Zahlen, I = Menge der irrationalen Zahlen)

Kommentar von Qochata ,

Logischerweise befindet sich innerhalb dieser Zahlen gerade  auch noch  die Nachkommastelle von pi. Dumm nur, dass diese, wie jede andere irrationale Zahl auch,  kein Mensch und kein Mathematiker ausfindig machen könnte. Wer es dennoch versucht, für den steht die Chance sie zu finden, gleich null. Chance also 1 : unendlich. Absolut aussichtslos, sie zu finden. (Vgl. die Wahrscheinlichkeit einen 6er im Lotto zu tippen: 1 : 14 Mio mit 1: unendlich!). Das heißt also, dass man keine einzige irrationale Zahl auf diesen u. a.. Zahlenstrahlen lokalisieren bzw. finden kann. Gibt es überhaupt irrationale Zahlen, könnte man sich getrost fragen

Kommentar von Qochata ,

0,1415......

Kommentar von kreisfoermig ,

befindet sich innerhalb dieser Zahlen gerade auch noch die Nachkommastelle von pi Dumm nur, dass diese, wie jede andere irrationale Zahl auch, kein Mensch und kein Mathematiker ausfindig machen könnte. Wer es dennoch versucht, für den steht die Chance sie zu finden, gleich null. Chance also 1 : unendlich. Absolut aussichtslos, sie zu finden[…]Gibt es überhaupt irrationale Zahlen, könnte man sich getrost fragen

Was du am Anfang fragst, betrifft die Möglichkeit der berechenbaren Beschreibung der Darstellung von irrationalen Zahlen durch Ziffernexpansionen. Da kann ich dir getrost sagen, wir haben rechnerische Mittel dafür die n-te Ziffer in der Basis-zehn (oder welcher auch immer) Ziffernexpansion von bekannten irrationalen Zahlen, inkl. π, e, √2, √3, … bis auf pathologisch konstruierte Zahlen wie die Chaitin’schen Zufallszahlen (die praktisch mittels deren Ziffernexpansionen kodieren jeweils, dass sie sich durch keinen Algorithmus erzeugen lassen).

Auch können wir für manche sehr simple Formeln angeben. Bsp. die Zahl mit Ziffernexpansion

∑ 10^–n²

ist aperiodisch und deshalb irrational. In der Tat gibt es super einfach berechenbare Folgen—daraus lassen sich irrationalen Zahlen konstruieren, und wir wissen quasi „sofort“, wie die n-te Ziffer aussieht für jedes n.

Dies gehört aber zu den Bereichen: AnaIysis, Berechenbarkeitstheorie und Zahlentheorie; mit Mengenlehre hat dies weniger zu tun und mit Kardinalitäten so fast gar nichts.

Kommentar von kreisfoermig ,

Das Dumme ist blos, dass diese mathem. Revolution kaum fortschreitet, geschweige denn ein Ende findet. Wer kümmert sich noch darum?

Viele Mathematiker, die sich als set theorists (Kunde der Mengenlehre), logicians (Logiker), model theorists, usw. bezeichnen.

Aber … Ja und nein. Du hast aber z. T. Recht… der Bereich Logik gilt in der Mathematik als schon eigenartig und besonders.

Er stirbt teilweise aus und wird jedoch hier und dort wieder belebt: in Jerusalem; Bonn/Münster (Mengenlehre, mathematische Logik), Freiburg (Mengenlehre und Logik), München (mathematische Logik); in Wien (Gödel-Institut); in Kopenhagen, Schweden; in Chicago, Californien, Texas und Toronto; Beijing; Warschau; Amsterdam; usw. Jeweils kleine aber lebendig Forschungsgruppen, teilweise Interdisziplinär. Es gibt schöne Leitfaden zw. Mengenlehre, mathematischer Logik, formaler & philosophischer Logik, Sprachwissenschaft, Informatik, sogar z. T. zu den Neurowissenschaften.

In der Mathematik selbst werden die Ergebnisse gebraucht am Rande der AnaIysis (heftig in Maßtheorie, Operatorenalgebren, usw.) und in der Kombinatorik. In der Tat kann man argumentieren, dass Mengenlehre uns über die Kombinatorik von unendlichen Objekte lehrt… und Kombinatorik taucht überall auf, sobald man Dinge indiziert, auflistet, usw. Diese Ansicht ist aber mMn zu trocken und nicht ganz treffend. Man macht mit dem Paradis, das uns Cantor vorstellte, der Mengenlehre, viel mehr als das: der Urzweck von ihm, um Werkzeuge zu entwickeln, um unendliche Reihen/Folgen zu untersuchen, der Zweck vieler Mathematiker: eine Ontologie, ein Fundament der mathematischen Objekte—in der Tat ein möglichst in sich geschlossenes mathematisches Universum zu errichten/beschreiben; der Zweck noch andere, quasi eine Wissenschaft „der“(?) Welt der Mengen (von der man gedanklich ausgehen dürfte) zu erstellen. …

Wen du schauen willst, empfehle ich dir JSL (Journal of symbolic logic). Falls du in München bist, gibt es sicher öffentliche Vorträge über Mengenlehre dort an der LMU.

p.s. ich habe schon verstanden, dass dein oben genannter beitrag an williberg gerichtet war.

Alles klar ; )

p.s: wie viele irrationale zahlen gibt es denn jetzt?

Ich zitiere (mit Umbennung) einen Beitrag oben: 

|irr. Zahlen|=|transz. Zahlen|=|ℝ| = 𝔠=2^ℵ₀
|ℚªˡ|=|ℚ|=|ℤ|=|ℕ| = ℵ₀

𝔠=2^ℵ₀ > ℵ₀

...und: wie lautet die erste und die letzte irrationale zahl auf der zahlengerade von 0----------1 ?

In [0; 1] gibt es keine erste oder letzte irrationale Zahl, denn 0 und 1 keine irrationalen Zahlen sind und streng zw. 0 und r noch eine (genauer Kontinuum viele) irrationalen Zahlen liegen und dasselbe zw. r und 1 für alle irrationalen Zahlen r ∈ [0; 1].

Der Blick auf diese Zahlengerade zeigt zwei harmlose Zahlen, die 0 und die 1 - dazwischen aber ist die Hölle los. Nicht genug damit, dass sich darin unendlich viele (aleph null viele) abzählbare rationale Zahlen befinden, nein: zu jeder einzelnen rationalen zahl kommen noch weitere unendlich viele (Alpeh 1 viele) irrationale Zahlen hinzu. Im Verhältnis also ausgedrückt 1 : unendlich. Hieße das zusammengefasst 1: unendlich = aleph null : Aleph 1 = R : I ?
(R = Menge der rationalen Zahlen, I = Menge der irrationalen Zahlen)

„Hieße das so?“ Hmmm… ich würde das nicht auswerten weiter als

ℵ₀ : 2^ℵ₀ . (Bitte denke dran, dass 2^ℵ₀ und ℵ₁ nicht unbedingt gleich sind, wie schon diskutiert, wegen der Unabhängigkeit von der KH.) Wie beim Subtrahieren kann man schlecht bei Kardinalzahlen Dividieren—es kommen undefinierte Werte raus.

Der Gedankenversuch rechtfertigt deinen Schluss auch nicht .

Wie kommst du auf nur EINE rationale Zahl, mit dem du diese Kontinuum vielen irrationalen Zahlen vergleichst. Ich sehe das nicht so, ich sehe nicht EINE, sondern ℵ₀ viele.

Kommentar von Qochata ,

nein, ich meinte das Verhältnis von unendlich vielen rationalen zahlen zu Unendlich vielen irrationalen Zahlen. Wenn es also auf jeder beliebigen  Zahlen gerade unendlich viele abzählbare rationale Zahlen gibt, dann gibt es entsprechend eine unendlich höhere Anzahl von überabzählbaren irrationalen bzw. transzendenten Zahlen. Wenn 2^ unendlich = Unendlich 1 wäre, dann wüßte man wie viele irrationale Zahlen es gäbe, nicht wahr? Man weiß nur, dass unendlich null kleiner als 2^unendlich null ist (aleph null kleiner als  2^aleph null).

Kommentar von kreisfoermig ,

Hmmm, zum Teil. Man wie schon viele irr. Zahlen es gibt: nämlich 2^ℵ₀. Es ist eher eine andere Frage, wenn man feststellen will, wie groß die Kardinalzahl 2^ℵ₀ ist bzgl. der Alefs.

Kommentar von Qochata ,

(2^aleph null = Aleph 1 = c).....(aleph null^ aleph null = Aleph 2 = c^c )....(Aleph 1^aleph null = Aleph 3 = c^c^c).....(Aleph 3^aleph 0 = Aleph 4 = c^c^c^c) ???

Kommentar von Qochata ,

p.s. und wenn es  eine überabzählbare Teilmenge gibt, die kleiner ist als alle reellen zahlen? ist pi eventuell die Königin aller transzendentalen Zahlen (also mächtiger als e z.b.?). verdient hätte sie es.

Kommentar von Qochata ,

mächtiger entspricht hier komplexer

Kommentar von kreisfoermig ,

Wenn es eine überabzählbare Teilmenge gibt, die kleiner ist als alle reellen zahlen?

Ob es eine Menge X ⊆ ℝ gibt, mit ℵ₀ < |X| < 𝔠 ?

Wie gesagt, dass ist weder beweisbar noch unbeweisbar. Wenn wir ein Universum, 𝕍, von Mengen fixieren, und nur wissen, dass die ZFC-Axiome gelten, dann wissen wir nicht ob KH gilt oder nicht (entsprechend ob eine solche Teilmenge existiert). Es ist in einem jeden fixierten Universum, 𝕍, so, dass entweder 𝕍 ⊨ KH oder 𝕍 ⊨ ¬KH (d. h. KH ist entweder wirklich wahr oder wirklich falsch in 𝕍). Aber wir wissen nicht, wie unser Universum diesbezüglich aussieht. Mal hätten wir das Glück, dass ein ausgewähltes Universum KH erfüllt, mal eben wählen wir eine Niete. (Je nachdem, wie du zu KH stehst. Ich habe eine stark agnostische Position: die Frage ist für völlig unnatürlich, denn 𝔠 ist ein geometrisches Objekt, während ℵ₁ ein kombinatorisches/arithmetisches. Von Kategorie her tauchen sie in anderen Welten auf, sodass Verhältnis dazwischen synthetisch und sogar künstlich sein muss.)

Ist π eventuell die Königin aller transzendentalen Zahlen (also mächtiger als e z.b.?). verdient hätte sie es.

Bin mir nicht sicher, was du mit „Königin“ meinst ; ) Was haben denn einzelne Objekte (die Zahlen) mit der Mächtigkeit der Mengen, in der sie sich befinden, zu tun?

Von zahlentheoretischer Komplexität her ist π meines Erachtens  schon kompliziert als e… oder mindestens in einer meta-Hinsicht: die Beweise von Eigenschaften von π sind deutlich anspruchsvoller als die von e. (Mengentheoretisch gibts keinen unterschied)

Kommentar von kreisfoermig ,

(2^aleph null = Aleph 1 = c).

Hier sind zwei Missverständnisse vorhanden, die sich wiederholen:

  • 𝔠 ist nicht definiert als das kombinatorische Objekt ℵ₁, sondern als die Mächtigkeit des Kontinuums, d. h.  𝔠:=|ℝ|=2^ℵ₀.
  • Des Weiteren gilt  2^ℵ₀ ≠ ℵ₁ es sei denn, man nimmt die KH als zusätzliches Axiom an.

aleph null^ aleph null = Aleph 2 = c^c )....(Aleph 1^aleph null = Aleph 3 = c^c^c).....(Aleph 3^aleph 0 = Aleph 4 = c^c^c^c)

Nee, so definiert man die Alefs eben nicht. Die „Folge“ der Alefs listet in aufsteigende Reihenfolge alle unendlichen Kardinalzahlen. (Dabei muss man beachten, dass die Indizes über die natürlichen Zahlen hinausgehen, sie sind die echte Klasse der Ordinalzahlen.)

Es wird definiert (bezeichne mit Card die Klasse der Kardinalzahlen und mit Ord die Klasse der Ordinalzahlen, wie gesagt Ord ⊃ ℕ):

  • ℵ₀ := Kardinalität von ω, also von ℕ. (Keine kleinere Dedekind-unendliche Kardinalität existiert.)
  • ℵ_ξ = Min{κ∈Card | (∀γ∈Ord) γ<ξ ⟹ κ > ℵ_γ}für alle ξ∈Ord.

Insbesondere gilt ℵ_{n+1} = die kleinste Kardinalzahl κ, mit κ > ℵ_n für alle n≥0. Im Allgemeinen gilt (in ZFC)

  • {ℵ_ξ | ξ ∈ Ord} = Card
  • ℵ_ξ = die ξ-te Kardinalzahl

Das heißt, die Alefs decken alle Kardinalzahlen ab, und listen diese aufsteigend.

Die KH / allgemeine KH beschäftigen sich damit, Zahlen wie 𝔠, 𝔠^𝔠, usw. eben festzulegen gegen den Maßstab der Alefs.

Jetzt mit der Definition hinter uns, deine Berechnungen sind nicht richtig:

Wir kennen 2 ≤ ℵ₀ < 2^ℵ₀
Also 2^ℵ₀ ≤ ℵ₀^ℵ₀ ≤ (2^ℵ₀)^ℵ₀ = 2^(ℵ₀·ℵ₀) = 2^ℵ₀
Also 2^ℵ₀ ≤ ℵ₀^ℵ₀ ≤ 2^ℵ₀
Also ℵ₀^ℵ₀ = 2^ℵ₀ = 𝔠,
und definitiv nicht 𝔠^𝔠
und womöglich nicht ℵ₂
da (1) ℵ₂ weder durch ℵ₀^ℵ₀ noch 𝔠^𝔠
definiert ist;
und (2) es ist unbeweisbar, ob 𝔠=ℵ₂.

Dann zu:

ℵ₀^ℵ₀ = ℵ₂ = 𝔠^𝔠
ℵ₁^ℵ₀ = ℵ₃ = 𝔠^(𝔠^𝔠)
ℵ₃^ℵ₀ = ℵ₄ = 𝔠^(𝔠^(𝔠^𝔠))

(1) 2 ≤ ℵ₀ < ℵ₁ ≤ 2^ℵ₀, also gilt ℵ₁^ℵ₀ = 2^ℵ₀ genau wie ℵ₀^ℵ₀ = 2^ℵ₀, daher sind die ersten zwei Gleichungen bzgl. der Potenzen des Kontinuums falsch: es gilt ℵ₀^ℵ₀ = 𝔠 und ℵ₁^ℵ₀ = 𝔠.

(2) ℵ₀^ℵ₀ = ℵ₂; ℵ₁^ℵ₀ = ℵ₃; ℵ₃^ℵ₀ = ℵ₄ entspricht der Definition nicht: die Alefs werden eben anders erzeugt (siehe oben). Dazu sind diese Berechnungen schlichtweg falsch, da ℵ₂ ≠ ℵ₃, während ℵ₀^ℵ₀ = 𝔠 = ℵ₁^ℵ₀ wie schon in (1) gesehen.

(3) ℵ₂ = 𝔠^𝔠; ℵ₃ = 𝔠^(𝔠^𝔠); ℵ₄ = 𝔠^(𝔠^(𝔠^𝔠)) entspricht ebenfalls der Definition nicht, wie die Alefs erzeugt werden. Die Folge ℵ₀; 𝔠; 𝔠^𝔠; 𝔠^(𝔠^𝔠); 𝔠^(𝔠^(𝔠^𝔠)) usw. ist gleich der Folge

ℶ₀ := ℵ₀
ℶ₁ := 2^ℵ₀ (=𝔠)
ℶ₂ := 2^ℶ₁ (=𝔠^𝔠)
ℶ₃ := 2^ℶ₂ (=𝔠^(𝔠^𝔠))
ℶ₄ := 2^ℶ₃ (=𝔠^(𝔠^(𝔠^𝔠)))

der „Beth“-Zahlen. Was du aufgeschrieben ist äquivalent zu, ℵ₂=ℶ₀; ℵ₁=ℶ₁; ℵ₂=ℶ₂; ℵ₃=ℶ₃; ℵ₄=ℶ₄; … . M. a. W., dass alle Alefs Beths sind. Das ist aber die verallgemeinerte KH, die wiederum von ZFC unabhängig ist—sogar von ZFC+KH.

Somit ist deine Kardinalarithmetik nicht richtig—außer du nimmst die allg. KH an.

Antwort
von Spongebob1994, 73

Unendlich....

N^N bleibt ja auch N...... und da unendlich unbestimmt viele Zahlen hat, kann man diese unbestimmten Zahlen wiederum nicht mit der unendlichkeit quadrieren

Kommentar von kreisfoermig ,

Es gilt 2 < |ℕ| < 2^|ℕ|, also 2^|ℕ| ≤ |ℕ|^|ℕ| ≤ (2^|ℕ|)^|ℕ| = 2^(|ℕ|·|ℕ|) = 2^Max{|ℕ|,|ℕ|} = 2^|ℕ|, also |ℕ^ℕ| = |ℕ|^|ℕ| = 2^|ℕ| > |ℕ|.

Wenn du mit der Kardinalarithmetik nicht vertraut bist, hier ein alternativer Beweis:

Es gibt eine Injektion von ℕ nach ℕ^ℕ, nämlich F(n) = constⁿ, wobei constⁿ die Funktion constⁿ(k) = n für alle n∈ℕ. Darum gilt |ℕ|≤|ℕ^ℕ|. Ich zeige, dass es keine Bijektion gibt, nämlich dass es keine surjektive Funktion G : ℕ → ℕ^ℕ.

Sei also G : ℕ → ℕ^ℕ eine beliebige Funktion. Zu zeigen ist, dass G nicht surjektiv ist. Setze nun δ ∈ ℕ^ℕ = Fn(ℕ,ℕ) das Element (die Funktion) gegeben durch

δ(k) := G(k)(k)+1 für alle k∈ℕ.

Beachte dass G(k) ∈ ℕ^ℕ = Fn(ℕ,ℕ) für alle k∈ℕ. Falls G surjektiv ist, so existiert ein n∈ℕ mit G(n) = δ. Per Konstruktion (von δ) gilt aber δ(n) = G(n)(n)+1 = δ(n) + 1 ≠  δ(n). Widerspruch! Darum ist G nicht surjektiv.

Somit ist bewiesen, dass es keine Surjektion G : ℕ → ℕ^ℕ gibt. Darum gilt |ℕ|≤|ℕ^ℕ| aber nicht |ℕ|≥|ℕ^ℕ|. Also gilt |ℕ| < |ℕ^ℕ| strikt.

Kommentar von Qochata ,

N * N * N ....ad infinitum = unendlich = 1/0 = N/0 .... unendlich * unendlich * unendlich....ad infinitum = Unendlich 1....Unendlich 1 /0 = Unendlich 2 = Unendlich 1^ unendlich (meine Theorie!)

Kommentar von kreisfoermig ,

das sind alle verschiedene Arten von Unendlichen bzw. Größen von Unendlichen derselben Art. Du hast bloß philosophisch / aus dem Bauch heraus argumentiert. Es bedarf konkreter Definition und vollständiger Beweise.

Kommentar von Qochata ,

in der Riemann´schen Geometrie ist  1/unendlich = 0 nicht nur zulässig, sondern Lehrsatz

Kommentar von kreisfoermig ,
  • 1/0 ist algebraisch oder geometrisch zu definieren: es geht darum, entweder die Algebra (R,·) zu erweitern auf eine Gruppe oder den linear geordneten Raum (R,<) zu vervollständigen.
  • |ℕ x ℕ x … | und |ℕ| sind (verschiedene) Kardinalitäten (Anzahlen). Dies ist eine völlig andere Art von Unendlichkeit. Hier geht es um keine geometrisch oder algebraische Konzept sondern um das rigide (starre) aufzählen von Elementen.
  • Es gibt auch ein weiters Konzept aus der Mathematik: Ordinalität (Position). Hier geht es nicht bloß um die Anzahl, sondern verfeinert um die Reihenfolge von Dingen: das 0te, das 1te, das 2te … das ω-te, das (ω+1)-te, …
  • Es gibt auch das Konzept aus der Metaphysik Unendlich ist ein Konzept der Vollkommenheit (z. B. trifft Gott zu). In der Sprachwissenschaft gibt es ein abgewandtes Konzept Unendlich / Infinitiv = das Ungebeugte, die reinste Form mit voller Information eines linguistischen Objektes, die alle Information der endlichen (gebeugten) enthält / darüber steht.

Offensichtlich können wir diese verschiedenen Arten von Unendlichen nicht einfach so im selben Rahmen behandeln, wie du es getan hast.

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Wichtige Faustregel bei dem Umgang mit technischem Wissen: stets deine Rahmen klar festlegen und darin definieren und untersuchen, ansonsten sind deine rahmenlosen Aussagen bedeutungslos und nicht rechtfertigt. Aus einem Salat kannst du kein richtiges geschweige denn aussagekräftiges Urteil treffen.

Kommentar von Spongebob1994 ,

Mäuschen ich muss jetzt erstmal die Push Benachrichtigung deaktivieren 🙄

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