Frage von kubota91, 62

Was berechnet diese Aufgabe? (Vektoren)?

Hallo, hab die Lösung zu einer Aufgabe aber leider keine Angabe. Was wird in dieser Aufgabe berechnet? Teilaufgabe c

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 16

Die Headline ist etwas irreführend. Du willst eigentlich nicht wissen, wie etwas berechnet wird, sondern was überhaupt berechnet wird.

Dabei handelt es sich um den zum Vektor |a› parallelen Anteil |b›_{||} und den zu |a› senkrechten Anteil |b›_{⟂} des Vektors |b›.

Die Schreibweise habe ich der Quantenmechanik entlehnt. Auch wenn hier Vektoren eines eher abstrakten Vektorraums gemeint sind, kann man sie auch für ganz gewöhnliche ℝ³-Vektoren des anschaulichen Raums verwenden. Skalarprodukte werden dann nicht |b›·|a›, sondern ‹b|a› geschrieben.

Um das Ganze besser zu verstehen, musst Du es am besten auf ein möglichst einfaches Beispiel anwenden, bevor Du es auf ein komplizierteres überträgst. Also: 2D statt 3D, und |a› soll parallel zu einem der Basisvektoren sein, etwa

(1.1) |a› = (a₁; a₂); |b› = (b₁; b₂)
(1.2) a₁ =: a; a₂ = 0.

Letzteres lässt sich durch geeignete Drehung des Koordinatensystems immer bewerkstelligen. Klar, dass dann

(2.1) |b›_{||} = (‹b|a›/{‹a|a›})|a› = ((b₁a + 0)/a²) (a; 0) = (b₁; 0)
(2.2) |b›_{⟂} = |b› – |b›_{||} = (b₁; b₂) – (b₁; 0) = (0; b₂)

ist. Dank des einfacheren Beispiels ist es halt einfacher zu veranschaulichen. Übrigens habe ich ‹a|a› verwendet, das Skalarprodukt mit sich selbst; es ist mit ||a›|² identisch.

Antwort
von Orsovai, 24

Das ist eine typische Anwendung des Gram-Schmidt Verfahrens um orthogonale Vektoren zu finden bzw. gegebene Vektoren orthogonal zu machen.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren

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