Frage von frage32r, 40

Was bedeutet Raumzeit?

Antwort
von SlowPhil, 12

Raumzeit ist die Zusammenfassung der drei Raumdimensionen und der Zeit mal einer Geschwindigkeit (eigentlich: Betrag einer Geschwindigkeit), z.B. der Lichtgeschwindigkeit c, zu (ct; x1; x2; x3) =: (ct, x).

Möglich ist sie immer, notwendig wurde sie durch die Erkenntnis, dass räumliche und zeitliche Distanzen nicht unabhängig voneinander sein können. Wenn zwei Koordinatensysteme K_A und K_B sich relativ zueinander bewegen, müssen nach Galilei in beiden dieselben Naturgesetze gelten, und nach Maxwells Elektrodynamik gehört dazu auch die Ausbreitung von Licht mit c. Folglich kann die Galilei-Transformation zu v_{BA} =: v, nämlich

(1.1) t_B = t_A =: t
(1.2) x_B = x_A – v·t

nur näherungsweise für |v| = v ≪ c gültig sein, denn die Addition der Geschwindigkeiten verändert sie ja, auch die Lichtgeschwindigkeit. Es muss also eine Transformation her, die

  • c invariant lässt,
  • aus der (1) als v ≪ c - Näherung hervorgeht und
  • deren Umkehrung eine gleichartige Transformation zu v_{AB} = –v ist.

Eine solche Transformation ist die Lorentz-Transformation

(2.1) ct_B = γ(ct_A – v·x_A/c)
(2.2) x_B = x_{A, trv.} + γ(x_{A, lng.} – v·t),

wobei »trv.« und »lng.« für »transversal« und »longitudinal« (bezüglich der Richtung von v) steht und

(3) γ = 1/√{1 – β²} mit β = v/c

ist. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man sich K_A und K_B so ausgerichtet denken, dass v = (v; 0; 0) = (cβ; 0; 0) ist und sich (3) daher mit x0 = ct als

(4.1) x0_B = γ·x0_A – γβ·x1_A
(4.2) x1_B = γ·x1_A – γβ·x0_A

schreiben lässt. Nun kann man sich leicht klar machen, dass γ²–(γβ)²≡1 ist, sich beide also als Cosinus Hyperbolicus und Sinus Hyperbolicus einer als Rapidität bezeichneten Größe

(5) ς = artanh(β)

auffassen lassen, sodass (2) bzw. (4) die Form

(6.1) x0_B = cosh(ς)·x0_A – sinh(ς)·x1_A
(6.2) x1_B = cosh(ς)·x1_A – sinh(ς)·x0_A

annehmen, was stark an eine Drehung

(7.1) x1_B = cos(φ)·x1_A – sin(φ)·x2_A
(7.2) x2_B = cos(φ)·x2_A + sin(φ)·x1_A

erinnert und sich in der Tat als »Drehung in der Raumzeit« auffassen lässt.

Diese hat eine uneigentliche Metrik, die erstmals von Hermann Minkowski, einem Lehrer Einsteins, beschrieben wurde, deshalb auch die Hyperbelfunktionen anstelle der trigonometrischen.

Das Quadrat des Abstandes zweier Ereignisse E1(x01|x11|x21|x31) und E2(x02|x12|x22|x32) ist nämlich

(8) (x02–x01)² – [(x12–x11)² + (x22–x21)² + (x32–x31)²],

wobei das Minuszeichen den Unterschied zum euklidischen, auf dem Satz des Pythagoras beruhenden räumlichen Abstandsquadrat ausmacht. Dabei ist (8) Lorentz-invariant, d.h. sie liefert in K_B und K_A unabhängig von v denselben Wert. Insbesondere liefert (8) dann, wenn sie in einem Koordinatensystem den Wert 0 liefert, in einem anderen ebenfalls den Wert 0; in diesem Fall kann man E1 theoretisch von E2 aus sehen oder umgekehrt.

Antwort
von TheAllisons, 23

Guck mal

https://de.wikipedia.org/wiki/Raumzeit

Antwort
von Wuestenamazone, 16

Palkia

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