Frage von MaximusBlondus, 72

Was bedeutet Divergenz und Konvergenz in der Mathematik?

Nabend Leute,

ich würde gerne wissen was die Konvergenz und die Divergenz in der Mathematik bedeutet. Es wäre nett, wenn ihr dies am Beispeil f(x)= (x²)/(x+10) erklären könntet.

Antwort
von ProfFrink, 51

Der Konvergenz und Divergenzbegriff bei Funktionen zielt immer auf spezielle Stellen im Funktionsverlauf. Die üblichen Verdächtigen sind meistens die Polstellen, die durch Nennerpolynome versacht werden. In der Schule haben wir gelernt, dass man nicht durch Null teilen darf. Genau das passiert aber in Deinem f(x) an der Stelle x= -10. Nun ist damit nicht gleich die ganze Funktion "böse" weil sie sich nicht an die Regel hält, sondern man muss diese spezielle Stelle "untersuchen".

Ins grobe gesprochen: Es gibt Fälle, da darf man trotzdem diese verbotenen Stellen anfahren, nämlich dann wenn die Funktion in diesem speziellen Punkt konvergiert. Jetzt etwas zum lernen:

Wenn die Funktion an dieser kritischen Stelle einen endlichen Wert, genauer gesagt: einen endlichen Grenzwert annimmt, auf deutsch: einen bestimmten Zahlenwert annimmt, dann ist sie konvergent.

In deinem Fall ist die Funktion divergent weil sie an der kritischen Stelle gegen Unendlich strebt, also keinen Zahlenwert annimmt. Der Rechner würde "ERROR" sagen. Deine Funktion ist sogar von einer ganz schlimmen Sorte, denn je nachdem von welcher Seite man sich vorsichtig anpirscht wird sie das eine Mal negativ unendlich und das andere Mal positiv unendlich. Schau dir den Graph an.

https://dl.dropboxusercontent.com/u/22840008/Konvergenz.png

Antwort
von JonasV, 36

Divergenz heißt, die Funktion hat für x gegen unendlich oder minus unendlich keinen Grenzwert (z.B. eine Funktion die immer abwechselnd 0 und 1 ist hat keinen eindeutigen grenzwert) oder geht im unendlichen gegen unendlich. Konvergenz heißt es gibt einen eindeutigen grenzwert und dieser ist endlich. Z.B. nähert sich die Folge 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32... an 1 an. Sie konvergiert also gegen 1.
Aber um festzustellen, gegen welchen Grenzwert etwas konvergiert oder ob es einen grenzwert gibt, muss man erstmal viel Analysis1 machen. Bei Funktionen in der Schule (ganzrational oder exponentiell) existiert auf jeden fall ein Grenzwert, aber der ist meistens entweder 0 oder unendlich oder -unendlich. z.B. die Funktion (x^2)/nx geht für jedes n gegen unendlich da (x^2)/nx=(1/n)*x. Und auch für n=99999999 ist 1/n positiv. Und positiv mal unendlich ergibt unendlich.

Kommentar von JonasV ,

Achja bei deiner Funktion ist auch im Nenner ein x^2. (x^2)/x+10. Das x^2 im nenner dominiert das x unten. Deswegen divergiert es gehen unendlich.

Antwort
von Roderic, 25

Konvergenz heisst: Es existiert ein Grenzwert.

Divergenz heisst: Es existiert keiner.

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