Frage von Dranland, 175

Warum Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen?

Meine Frage ist einfach nur, was das bringt.

Das es in Mathe irgendwie gemacht werden muss verstehe ich schon, aber was bringt das?

Scheinbar braucht man das irgendwie für Elektrotechnik aber wofür genau?

Wurzeln aus negativen Zahlen sind doch sowieso irgendwie unlogisch, wo muss man das dann doch tun?

In welchen Bereich der Physik muss man Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen uns wieso

Expertenantwort
von Hamburger02, Community-Experte für Physik, 54

Wenn man in der Physik verschiedene Sachen berechnen will, z.B. wie sich der Strom an Spulen oder Kondensatoren verhält, wie sich Strömungen verhalten und vieles andere, stößt man manchmal auf Gleichungen vom Typ:

x^2 +1 = 0

Diese Gleichung ist mit den reelen ("normalen") Zahlen nicht lösbar, weil sie auf x^2 = -1 hinausläuft und somit x = √-1 wird. Da man aber nicht aufgeben möchte, muss man zu den imaginären Zahlen greifen. Wie der Name sagt, gibt es diese Zahlen in der Natur nicht, sondern nur in der menschlichen Vorstellung. Damit kann man dann weiter rechnen, weil am Ende der imaginäre Teil entfällt oder in einen reelen umgerechnet werden kann. Spätestens, wenn du eine imaginäre Zahl quadrierst, wird sie wieder reel, da i^2 = -1.

Bildlich kann man sich das so vorstellen, dass der reele Zahlenstrahl, der eindimesional ist, um eine senkrechte Komponente, den imaginären Teil, erweitert wird. Dadurch wird eine ganze Fläche an neuen Zahlen aufgespannt, mit der man viele physikalische Probleme mathematisch gut in den Griff bekommen kann.

Kommentar von Machtnix53 ,

Wie der Name sagt, gibt es diese Zahlen in der Natur nicht, sondern nur in der menschlichen Vorstellung.

Alle Zahlen, auch die sogenannten 'natürlichen', gibt es nur in der menschlichen Vorstellung. Zahlen sind menschliche Hilfsmittel, um sich Natur vorstellen zu können.

'Imaginäre' Zahlen sind weder mehr noch weniger natürlich als 'reelle' oder 'natürliche' Zahlen. Die Bezeichnung ist irreführend, denn die 'imaginäre' Komponente ist ebenso wirklich und wirksam wie die 'reelle'. Zudem können viele (wie der Fragesteller) sich die 'imaginären'  Zahlen gerade nicht vorstellen.

Treffender wäre etwa 'verborgene' gegenüber 'offensichtlichen' Zahlen. Natürliche Vorgänge wie Schwingungen und Wellen sind eben nicht eindimensional wie die reellen Zahlen und sind mit den zweidimensionalen komplexen Zahlen besser erklärbar.

Kommentar von Hamburger02 ,

Alle Zahlen, auch die sogenannten 'natürlichen', gibt es nur in der menschlichen Vorstellung.

Darüber könnte man trefflich diskutieren. Aber da gehts ins Philosophische.

Kommentar von Dranland ,

Ja ok, wenn ich so eine Gleichung wie x^2 +1 = 0, ist das eine Parabel.

Und wenn ich die Werte für x rausfinden will, sind das ja die Nullstellen.

Aber wenn ich die Parabel zeichne, ist doch sonnenklar, dass sie keine Nullstellen hat und deswegen auch keine Lösungen für x?

Ich kann doch nicht einfach wild rumdefinieren und zahlebmengen einführen wie ich will?

Ich kann ja auch nicht einfach sagen, 5/0 = m und es gibt jetzt nen neuen zahlenbereich, wo die Zahlen drin sind?

Kommentar von Hamburger02 ,

Das ist leider keine Parabelfunktion, da nur 1 Variable vorkommt. Das ist eine quadratische Gleichung.

Natürlich kann man wild rumdefinieren. Nichts anderes wird in der Mathematik die ganze Zeit gemacht...und es funktioniert. Die einzige Frage bei einer Definition ist: "Ist die Definition sinnvoll? Kann man damit was anfangen?". Betreffs komplexer Zahlen lautet die Antwort eindeutig ja.

Die Erweiterung der Zahlenmenge erlebst du ja nicht zum ersten Mal. Zuerst hast du nur die natürlichen Zahlen kennengelernt.

Dann kamen die negativen dazu.

Danach kamen Dezimalzahlen dran und danach die irrationalen Zahlen.

Und jetzt sind halt die komplexen Zahlen an der Reihe. Damit sind aber immer noch nicht alle möglichen Zahlen vorgestellt. In der Schule ist aber da meistens Schluss. Noch mehr Zahlen gibts dann an der Uni.


Antwort
von ELLo1997, 67

Nach dem Sinn von manchen mathematischen Gebieten zu fragen, ist oft zwecklos. Mathematik ist nun mal eine Strukturwissenschaft und KEINE Naturwissenschaft. Das heißt man findet die komplexen Zahlen nicht einfach so auf der Straße und denkt sich "hmm sollte man mal untersuchen".
Mathematik könnte auch ohne die Natur existieren, denn sie ist in sich abgeschlossen und rein auf Logik und Axiomen aufgebaut. Das heißt aber NICHT, dass man mit Hilfe der Mathematik nicht die Natur beschreiben kann! Sehr wohl hat man eine anschauliche Vorstellung der natürlichen Zahlen, vielleicht auch der ganzen Zahlen und der rationalen Zahlen, weil man in der Realität Dinge findet, mit denen man diese Bereiche assoziieren kann. Man hat auch eine Vorstellung vom zweidimensionalen und vom dreidimensionalen Raum weil man im dreidimensionalen Raum lebt. Aber die Mathematik geht ohne mit der Wimper zu zucken weiter in vier, fünf und unendlich viele Dimensionen, weil sie sich salopp gesagt keine Sorgen machen muss, ob man sich das ganze noch anschaulich vorstellen kann.
Komplexe Zahlen gehören nun mal zu den Bereichen der Mathematik, die man sich nicht ohne weiters vorstellen kann.

Lg

Kommentar von Willibergi ,

Schreibst du deine Antworten in der gutefrage.net-App? ^^

LG Willibergi 

Kommentar von ELLo1997 ,

Ja, warum? ^^

Lg

Kommentar von Willibergi ,

Weil du statt Absätzen immer Zeilenumbrüche machst.

Daran erkennt man App-User sofort. ^^

LG Willibergi 

Antwort
von Australia23, 64

Ich kann dir auch nur sagen, was ich bis jetzt im Studium erfahren habe, aber es gibt sicherlich noch zig andere Anwendungsmöglichkeiten.

Nur kurz, falls dir das noch nicht bekannt ist:
(-1)^(1/2) := i
z = x + i y -> eine Komplexe Zahl, x & y sind reell

Komplexe Zahlen werden z.B. benötigt um manche Differenzialgleichungen zu lösen. Häufig enthalten dabei Zwischenschritte der Berechnung komplexe Zahlen, das Endergebnis ist aber wieder reell. Von daher braucht man sie nur zur "Überbrückung".

Differenzialgleichungen sind Gleichungen, welche auch Ableitungen der gesuchten Funktion enthalten. Durch solche Gleichungen können viele physikalische/chemische Vorgänge beschrieben werden, die in der Natur beobachtet werden. Beispiele findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung#Auftreten_und_Anwendungen

Mit der Lösung solcher Gleichungen können dann z.B. Voraussagen gemacht oder weitere Dinge berechnet werden, welche auf den jeweiligen Prozessen basieren.

Kommentar von Willibergi ,

"(-1)^(1/2) := i"

Auch wenn das an mathematischen Hyperkorrektheit grenzt, möchte ich dennoch folgendes erwähnen:

i als die Wurzel aus -1 zu definieren, ist kritisch.

Grundsätzlich gilt:

i² = -1

Wenn man deiner Definition folgen würde, würde man an einige Ungereimtheiten stoßen.

Ist zwar reiner Formalismus, aber definitiv erwähnenswert.

LG Willibergi 

Kommentar von Australia23 ,

Stimmt, danke für die Korrektur!

Hab das wohl verwechselt, da von Wurzeln negativer Zahlen die Rede war...

Antwort
von ausdertonne, 20

Dass man direkt die Wurzel aus einer negativen Zahl zieht, kommt selten vor, ist mir jetzt auch kein Fall für bekannt.

Aber durch Hinzunahme der  Wurzeln negativer Zahlen wird der Zahlenbereich der reellen Zahlen in einer Weise erweitert, die viele Probleme einfacher beschreiben und berechnen lässt. Das ist der eigentliche Grund.

Die Mathematiker führten die Wurzel aus -1 ein, weil mit dem dadurch entstehenden erweiterten Zahlenbereich (den komplexen Zahlen) auf einmal alle quadratischen Gleichungen eine Lösung haben.

(Genauer gesagt haben sogar alle Polynome mindestens eine Nullstelle, also gilt das sogar für Gleichungen mit höheren Exponenten als nur quadratisch)

Das ist ein ziemlicher Gewinn, weil man jetzt gar nicht mehr auf die genaue Form einer Gleichung achten muss, um zu wissen, dass sie lösbar ist - dadurch lassen sich viele Zusammenhänge leichter auffinden und beweisen.

In der Elektrotechnik benutzt man komplexe Zahlen, um zu beschreiben, wie Schaltungen sich verhalten, wenn man Wechselstrom anlegt, also sinusförmige Spannungen. Durch die Verwendung der komplexen Zahlen vereinfachen sich die Rechnungen stark.

Das hängt damit zusammen, dass die komplexen Zahlen zweidimensional sind, man kann mit ihnen eine Amplitude und eine Phasenlage gleichzeitig beschreiben und genau das braucht man, um das Verhalten von Wechselspannungen zu beschreiben.


Antwort
von Hauptschule11, 33

Meine Frage ist einfach nur, was das bringt.

Um die Lösung zu erhalten.

Scheinbar braucht man das irgendwie für Elektrotechnik aber wofür genau?

Die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen? Da fällt mir so spontan jetzt nichts ein. Allerdings ist die Wurzel aus (-1) = j. Das ist der Vorfaktor um den imaginären Teil einer komplexen Zahl zu beschreiben. Das wird in der Elektrotechnik für vieles verwendet:

komplexe Drehzeiger

Phasenverschiebungen

Laplace und Fouriertransformation

usw.

In welchen Bereich der Physik muss man Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen uns wieso

Naja z.B. in der Schwingungstechnik, Modalanalyse, spezielle Relativitätstheorie.

Meist ist es so dass diese Erweiterung des Zahlenraums rechnerische Vorteile bringt. Früher wurde das mit Quaternionen gemacht.

Auch lassen sich Phasenverschiebungen durch induktive und kapazitive Bauelemente damit wunderbar und einfach beschreiben. Bei vielen Berechnungen kommt man prinzipiell nichtmal drum herum.

Antwort
von Ursusmaritimus, 68

Man benötigt sie zum Berechnen von Phasenverschiebungen innerhalb der vier Quadranten.

Aber ganz ehrlich meine Studiumzeit ist schon dreissig Jahre her und ich beherrsche die Mathematik der komplexen Zahlen nur noch rudimentär......

VierQuadrantensteller benötigt man z.B. wenn man Frequenzumrichter von motorischen Antrieben auch zu Netzrückspeisung (z.B. Aufzugsantriebe) verwendet.


Antwort
von Biene1233, 58

Man braucht sie um z.B. Scheinleistungen zu berechnen...damit kann man auch Stromnetzte etc. besser beschreiben...

Antwort
von LeCux, 55

Das ist ein Konstrukt, man definiert die Wurzel aus -1 als i.

Gerade das Berechnen von Wechselstrom wird damit viel einfacher in der Zeigerdarstellung im komplexen Zahlenraum.

Antwort
von MrBananentorte, 64

Wenn unter der Wurzel ein - steht, dann kann man aus dieser negativen Zahl keine Wurzel ziehen. Man kommt einfach zu keinem Ergebnis wenn die Zahl unter der Wurzel negativ ist. Anders sieht es aus wenn das - vor der Wurzel steht, dann ziehst du ganz normal die Wurzel und setzt das - einfach wieder davor.

Kommentar von Willibergi ,

Man kann sehr wohl Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen!

LG Willibergi 

Kommentar von SlowPhil ,

Man kommt einfach zu keinem Ergebnis wenn die Zahl unter der Wurzel negativ ist.

Das ist falsch, weil es die imaginäre Einheit ignoriert.

Es hat auch keinen Sinn, zu sagen, dass diese »in Wirklichkeit nicht existiere«, denn Zahlen existieren ja generell nicht so wie Steine oder Bäume.

Sie sind keine Phänomene, also etwas, das gezeigt werden kann, sondern Noumene, also etwas, das gedacht werden kann. Und da die imaginäre Einheit gedacht werden kann, ohne Widersprüche zu erzeugen, existieren sie auch.

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