Frage von RotkehlchenBirk, 43

Warum wechselnd das Vorzeichen bei quadratischen Gleichungen unregelmäßig?

Normalerweise, beispielsweise beim Anwenden der Mitternachtsformel ergibt eine negative Zahl quadriert, beispielsweise -1^2, dasselbe wie ihr positives Pendant quadriert (hier 1). Beim Aufstellung von Funktionen allerdings nicht. So ist x=1 für f(x)=-x^2 auch wirklich -1 obwohl die Regel gilt: Potenz vor Punkt. Brauchte man nicht eigentlich Klammern um dies zu entwirren? (-1)^2 ergibt laut meinem Taschenrechner 1 und -1^2 -1. Bei der Mitternachtsformel verwendet man hier jedoch keine Klammer und auch sonst nicht, rechnet aber als wäre sie da.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik & Schule, 10

Der Taschenrechner braucht genauso wie die Schreibweise hier bei GF manchmal einige Paar Klammern mehr, weil ja auch nicht alle einen Bruchstrich simulieren können. Wurzeln haben auch kein Ende, wenn sie vorkommen, falls man den Term unter der Wurzel nicht beklammert. Nennerterme müssen mindestens auch beklammert werden. Sonst ist alles falsch!

Obendrein darf man den Unterschied zwischen Vorzeichen und Rechenzeichen nicht vergessen, die manchmal verschmelzen und manchmal nicht.
2 - 2 ist eigentlich (+2) + (-2) = 0
(Da wegen der Kommutatitivät bei Addition das Rechenzeichen Minus eigentlich nicht mehr existiert und duch die Addition einer negativen Zahl ersetzt wurde, ist die Vorstellung davon im Hinterkopf sehr, sehr wichtig!)

Punktrechnung vor Strichrechnung ist ebenfalls obsolet. Meist ist gar kein Punkt mehr da bei der Multiplikation und der Doppelpunkt kann auch ein Bruchstrich sein.

Antwort
von Melvissimo, 19

Gerade weil Potenz vor Punkt gilt, ist -1^2 = -1 und damit nicht dasselbe wie 1^2. Du hast also vollkommen recht; man braucht auf jeden Fall Klammern, falls man die (-1) vollständig quadrieren möchte. Das gilt auch für die Mitternachtsformel.

Z.B. bei y = 2x² - 4x + 2 ist b = -4. In der Mitternachtsformel steht unter der Wurzel der Term b² - 4ac. Hier müssen wir darauf achten, dass b² = (-4)² ist und nicht etwa -4². Ansonsten würde unter der Wurzel etwas negatives stehen, was bedeuten würde, dass es keine reelle Lösung gibt. Aber x = 1 ist einfach eine Lösung.

Kommentar von RotkehlchenBirk ,

Warum schreibt man gemäß der Konvention dann keine Klammern?

Kommentar von Melvissimo ,

Hättest du lieber (b)² dort stehen? Das ist sicher nicht falsch und wenn du dich damit sicherer fühlst, kannst du das auf jeden Fall machen! Jedoch ist es gewissermaßen unnötig:

b² ist ja definiert als b * b, wobei b ein Platzhalter für irgendeine Zahl ist. 

Das ist so auch überhaupt kein Problem, denn für je zwei Zahlen (egal ob positiv oder negativ) wissen wir ganz genau, dass wir das Produkt der beiden Zahlen berechnen können. D.h. b² = b*b ist auf jedenfall eine wohldefinierte Zahl.

Das Problem kommt jetzt erst auf, wenn wir explizit eine Zahl für b einsetzen wollen. Ist diese Zahl etwa -1, so würde dort stehen:

-1² = -1 * -1.

Das Problem ergibt sich wie folgt: Weil Menschen (vor allem Mathematiker) dazu tendieren, manchmal ein wenig faul zu sein, haben sie -a := (-1) * a definiert. Umgekehrt ist -a auch das additiv Inverse Element von a.

D.h. wir wissen nicht, ob mit -1² jetzt (-1)² oder -(1²) = (-1) * (1²) gemeint ist. Um hier keinen Fehler zu machen, müssten wir stets Klammern setzen.

Aber nochmal: Mathematiker sind gerne etwas schreibfaul, also haben sie sich auf die Konvention "Potenz vor Punkt" geeinigt, was dafür sorgt, dass -1² automatisch als -(1²) = -1 interpretiert wird.

Damit ist b² = b * b = (-1) * (-1) aber definitiv dasselbe wie (-1)² und nicht -1².

Antwort
von FataMorgana2010, 17

Erstmal vorweg:  Natürlich gilt immer 

-a² = - (a * a) und

(-a)² = (-a) * (-a) = a²

und beides ist nicht gleich, wenn a nicht gerade 0 ist.

Und genau so ist es auch bei der Mitternachtsformel. Was dich vermutlich verwirrt, ist folgendes: 

Unter der Wurzel steht ja b². Und damit ist immer (b)² gemeint - und wenn b negativ ist, dann steht da ja eine negative Zahl, die quadriert wird. 

Kommentar von RotkehlchenBirk ,

Ich war deswegen verwirrt: f (-1)= -(-1^2 ) =1 und nicht -1^2 = 1. Somit ergibt alles wieder einen Sinn. Warum mein Taschenrechner hedoch Klammer benötigt weiß ich nicht.

Antwort
von ac1000, 5

-1² = -1, denn -1² = -(1²) = -(1*1) = -(1) = -1

(-1)² = 1, denn (-1)² = (-1)*(-1) = 1

Potentzieren ha höhere Priorität als das Vorzeichen. Daher heißt "-1²" soviel wie "qudriere die 1 und setze dann ein Minus davor". Wenn wirklich die -1 quadriert werden soll, müssen Klammern drum:

"(-1)²" heißt dann soviel wie "quadriere die -1".

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