Frage von Akashaaaa, 41

Warum stimmt folgende Rechnung: z^2=(e^(i*2*pi/3))^2=e^(i*4*pi/3)=e^(-2*i*pi/3)?

Kann die Rechnung bis e^(i4pi/3) nachvollziehen, das Letzte dann nicht mehr..

Bitte um eine möglichst detaillierte Antwort :( Vor allem, wie man darauf kommt, denn rechnerisch macht's für mich keinen Sinn... bitte bitte :(

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 7

komplexe Zahl kann als Re(x) + Im(x)*i oder als

Betrag und Winkel dargestellt werden. SI-Einheit vom Winkel ist Rad -> da braucht man dann nichts umrechnen: der Vollwinkel ist 2Pi.

Ob man sich nun 1, oder 2 oder n mal komplett herumdreht, ist egal (oder anders herum (-1 mal)) -> man erreicht immer die Ausgangsposition.

allg.: e^(i * Winkel ) also:

(e^(i*[4*pi/3])) = (e^(i*[4*pi/3+2Pi*n])); n=-2,-1,0,1,2,...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=table+(e%5E(i*%5B4*pi%2F3%2B2Pi*n%5D)),n%3D-2...4

Dein z²=e^(-2*Pi/3*i)=-(-1)^(1/3)=-1/2 - sqrt(3)/2*i

War z gegeben, oder gesucht: z=+/-sqrt(z²)

Antwort
von YStoll, 22

e^(i*x) ist eine Darstellungsform des Arguments einer komplexen Zahl.

Der Betrag von e^(i*x) ist für jedes reelle x genau 1.
Ein Argument von 2 Pi ist gerade wieder ein Argument von 0.
e^(i*Pi) wäre ein Argument von Pi, was genau der Zahl -1 entspricht.

Man kann immerzu 2 Pi zum Argument hinzuzählen oder abziehen, es verändert praktisch nichts.

e^(i*x)=e^(i * (x+2Pi) )

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