Frage von zacefronswifey, 22

Warum sind Verteilungsfkt monoton wachsend und ihr max Fktwert gleich 1?

ddd

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 17

Das liegt bestimmt daran, dass sie kumulativ sind. Die Wahrscheinlichkeit wird bei größerem Intervall immer größer.

Die Wahrscheinlichkeit, dass X ≤ x ist, ist mit wachsendem x immer größer.

Ist aber nur eine Vermutung meinerseits.

https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilungsfunktion\_(Stochastik)

1 ist allgemein oft das Maximum, weil eine Wahrscheinlichkeit von 1 bedeutet, dass das Ereignis zu 100% eintritt. Mehr als 100% geht nicht. 
Die Wahrscheinlichkeit, dass X ≤ x_max ist, ist zu 100% gegeben (siehe Wahrscheinlichkeitsfunktion P).

Kommentar von PWolff ,

Völlig richtig.

(Ergänzung: es kann formal für x_max auch +unendlich genommen werden, dann wird x_max nie angenommen.)

Hier der Link nochmal mit URL-Maskierung: https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilungsfunktion%5F%28Stochastik%29


Antwort
von ELLo1997, 6

Ein Funktionswert einer Verteilungsfuntion an der Stelle x lässt sich ja interpretieren als "summiere (oder integriere) alle Wahrscheinlichkeiten von minus unendlich bis zu x auf". Und da Wahrscheinlichkeiten nie negativ sind, wird die Summe immer größer, sprich monoton steigend.
Lg

Antwort
von Melvissimo, 7

Folgt man dem ersten Link von Suboptimierer und kennt zusätzlich noch die Definition eines Wahrscheinlichkeitsmaßes, so wird die Aussage eigentlich klar:

Ist x ≤ y, so ist die Menge {w | w ≤ x} offenbar eine Teilmenge von {w | w ≤ y}.

Aus der Definition eines W-Maßes folgt aber, dass für A Teilmenge B automatisch P(A) ≤ P(B) gelten muss (W-Maße sind in diesem Sinne monoton wachsend). Also folgt:

P(X ≤ x) ≤ P(X ≤ y). Damit ist die Verteilungsfkt monoton wachsend.

Außerdem nimmt jedes W-maß höchstens den Wert 1 an, also ist

P(X ≤ x) ≤ 1 für jedes x.

Allerdings muss es kein reelles x geben, für das wirklich P(X ≤ x) = 1 ist.

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