Frage von Masen, 31

Warum sind die Zahlenpaare von R^2 kein Vektrorraum?

Die folgende Menge mit den angegebenen Operationen bildet keinen reellen Vektorraum: V = R^2 = Menge aller reellen Zahlenpaare. Addition: (x1, x2)+(y1, y2) = (x1 +y1, x2 +y2) fu ̈r alle (x1, x2), (y1, y2) ∈ V . Multiplikation mit einem Skalar: λ(x1,x2) = (λx2,λx1) für alle λ ∈ R und (x1, x2) ∈ V . Gehen Sie die Vektorraum-Axiome durch! Welche sind erfüllt, welche sind verletzt?

Sind nicht alle Axiome erfüllt?

liebe Grüße

Antwort
von gilgamesch4711, 9

  " Selbst eine alte Kuh / Lernt immer noch dazu. "

   Es ist alles so ungeheuer teuflisch wie das klein Gedruckte bei Juristrens. Uns haben sie immer erzählt, 1 * v = v , um zu vermeiden, dass 1 * v = 0

   Jetzt steht da aber

    k  (  x1  |  x2  )  =  (  k x2  |  k x1  )     (  1  )

   Er tut also die beiden Komponenten VERTAUSCHEN . Nach meiner unmaßgeblichen Einschätzung wäre dies mit allen Assoziativ-und Distributivgesetzen vereinbar - aber eben nicht mit der Existenz der Eins.

Kommentar von Masen ,

Danke, ich habe einfach nicht richtig gelesen! 

Antwort
von Physikus137, 16

Dass ℝ² kein Vektorraum sei ist mir neu ...

Im letzten Jahrhundert, als ich studiert habe, war er noch einer...

Kommentar von Physikus137 ,

Für jedes n ∈ ℕ ist (ℝⁿ, +, ⋅ ) ein Vektorraum. 

Kommentar von Rowal ,

also mit der angegebenen äußeren Verknüpfung
λ(x1,x2) = (λx2,λx1)
war das auch im letzten Jahrhundert kein Vektorraum. gilgamesch4711 hat nämlich recht, da der Einwand von Masen falsch ist, denn es muss richtig heißen
1*(47,11)=(1*11,1*47)=(11,47) und nach den Vektoraumaxiomen muß gelten 1 * x = x für alle Vektoren x. Folglich müsste sein 47=11.

Kommentar von Physikus137 ,

Ah, wer lesen kann ist klar im Vorteil! Da ist mir doch glatt ein kleines bedeutendes Detail entgangen.... 😟

Antwort
von gilgamesch4711, 24

  Hier ich hab's. Zu den Vektorraumaxiomen gehört, wie das Einselement aus dem Grundkörper wirkt.

    1  *  v  =  v  (V)  v     (  1  )

    Jetzt setze mal

    x1  =  47  ;  x2  =  11     (  2  )

    1  *  (  47  |  11  )  =  (  1 * 11  |  1 * 47  )      (  3  )

  Clear what I mean?

Kommentar von Masen ,

Danke für die schnelle Antwort, 

ich verstehe es leider nicht ganz, wie das Kriterium es widerlegt.

Wenn ich das Einselement Multipliziere bei x1=47 und x2=11, dann bleibt mein Vektor ja gleich: 1*(47,11)=(1*47,1*11)=(47,11) 

oder? 

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