Frage von EinAlex6, 92

Warum PI*R*S?

Hallo,

Warum nimmt man zur Berechnung eines Mantel von einem Kegel PIRS?

PIR2 ist ja der Umfang der Grundfläche, aber in der späteren Formel ist "*2" nicht mehr da und die Zahlen haben ein e andere reinfolge....

Und wenn man die Grundfläche S mal nach oben dupliziert ist dass ja ein Zylinder und nicht ein Kegel... Dann müsste man ja theoretisch nochmal durch die Anzahl wie oft ein Kegel in einen Zylinder passt teilen aber auch dass ist nicht in der Formel vorhanden...

Bitte um verständliche schnelle Hilfe, danke im voraus...

LG Alex

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 30

Mir fallen 2 Möglichkeiten ein, das anschaulich zu machen:

1.:

Der Kegel lässt sich durch Pyramiden annähern, bei der die Grundfläche ein (regelmäßiges) n-Eck mit zunehmender Eckenzahl ist.

Dann besteht die Mantelfläche ja nicht aus Rechtecken, sondern aus Dreiecken. In der Formel für die Dreiecksfläche steckt ja der Faktor  1/2 drin: 1/2 Grundseite mal Höhe - die Grundseite ist die Seite des n-Ecks und die Höhe ist die Länge der Mantellinie, s.

Damit ist die Mantelfläche M

M = 1/2 * U * s

wobei U der Umfang der Grundfläche und s die Länge der Mantellinie ist.

Bei genügend großen n unterscheiden sich U der Grundfläche und Umfang des Grenzkreises beliebig wenig, sodass für die Mantelfläche M gilt:

M = 1/2 * U * s ≈ 1/2 * (2 * Pi * r) * s

2.:

Wickele die Mantelfläche ab. Das ergibt einen Kreisausschnitt mit Radius s und Umfangslänge 2 Pi r  (r = Radius des Grundkreises des Kegels)

Der Vollkreis mit Radius s hat die Fläche Pi * s^2.

Die Fläche eines Kreisausschnittes ist proportional zu seinem Anteil am Umfang des Kreises. Damit ist

M = (Pi * s^2) * (2 Pi r) / (2 Pi s)

-----

in beiden Fällen wird der Faktor 2 gerade durch einen Faktor 1/2 (bzw. einen Faktor 2 im Nenner) kompensiert.

Antwort
von leon31415, 38

Der Mantel ist ja ein Dreieck mit der Seitenlänge des Kreisumfang (also 2r * pi) und die Höhe ist die Kegelhöhe. Der 2 kürzt sich weg.

Kommentar von oetschai ,

Der Mantel eines Kegels ist ein Dreieck? Seit wann???

Kommentar von leon31415 ,

habe mich vertan

Antwort
von oetschai, 26

Hier:

...findest du die Ableitung.

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