Frage von Okinkino, 44

Warum konvergiert diese Reihe?

Es gibt die Summe 1+1/4+1/9+1/16+1/25... Diese ergibt pi²/6. Ich würde von Gefühl her sagen, dass diese Summe divergiert. Kennt jemand einen Beweis, dass sie konvergiert?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von GrobGeschaetzt, 26

Euler kannte den Beweis:

https://de.wikipedia.org/wiki/Basler_Problem

Kommentar von Okinkino ,

Danke, jetzt habe ich es fast verstanden

Antwort
von surbahar53, 25

Eine geometrische Reihe, also

summe(n=1...n=unendlich) q^n

konvergiert für q < 1. Beweise dazu finden sich im Internet. Diese Reihe lautet

summe(n=1...n=unendlich) (1/n^2)^n

Nun ist 1/n^2 < 1 für n > 1. Eine Summe konvergiert immer dann, wenn alle Teilsummen konvergieren. qed.


Kommentar von Okinkino ,

Man kann nicht allgemein sagen, dass eine Reihe konvergiert, wenn die einzelnen Glieder gegen 0 gehen. Beispiel: 1+1/2+1/3+1/4+1/5... hat Glieder, die gegen 0 gehen. Verringert man die Summanden auf eine "Zweierpotenz" kommt folgendes heraus: 1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8+1/16+1/16... oder 1+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2... Das ist dann unendlich. Die ursprüngliche Reihe ist aber großer und muss deshalb auch gegen unendlich gehen.

Kommentar von surbahar53 ,

Die Geometrische Reihe konvergiert, das ist halt so. Mit Deiner Summe habe ich mich vertan, die lautet

summe(n=1...n=unendlich) (1/n)^2

Jetzt muss man nur noch zeigen, dass

(1/n)^2 < q^n,     für q < 1 und n gegen unendlich

Ohne jetzt einen grossen Beweis zu führen, kann man immer ein beliebig kleines e finden, sodass

(1/n)^2 < (1-e)^n,     für n gegen unendlich

Anders ausgedrückt gehen die Summanden in Deiner Summe schneller gegen 0 als die einer geometrischen Reihe mit einem beliebigen q < 1.

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